Hallo Anja,
F ( r ) = {y, -x, 0}
Was ist unter dem Skizzieren des Vektorfeldes gemeint?
damit ist gemeint, dass Du Dir ein Blatt Millimeterpapier schnappen, irgendwo in der Mitte einen Nullpunkt und ein Koordinatenkreuz installieren, und z. B. in jedem Punkt r , wo sich zwei dicke Linen kreuzen (1 cm-Raster) ein kleines Pfeilchen hinmalen sollst mit der Länge und der Richtung, die F ( r ) angibt. Am Schluss hat das Opus dann eine gewisse Ähnlichkeit mit einem Fell, mit Pfeilen als „Haare“ (in einem Fell gibts ja auch Wirbel).
„{y, -x, 0}“ hat übrigens praktische Bedeutung: Flüssigkeiten können so strömen, z. B. zwischen zwei sich bewegenden Platten, und dann spricht man von einem Couette-Strömungsfeld. Dieses Feld ist nicht konservativ.
- Gegeben sei das Kraftfeld F ( r ) = { (3xz-y)
ex -x ey +3/2x² ez }.
Berechnen Sie die Arbeit W, die geleistet werden muss, um ein
Teilchen der Masse 1 kg vom Punkt A mit den Koordinaten
(1,1,1) zum Punkt B mit den Koordinaten (2,2,2) ohne
Beschleunigung zu bewegen. Warum steht hier explizit „ohne
Beschleunigung“?
F ( r ) ist ja dimensionslos, also vergiss die Gravitationskonstante und irgendwelche Massen. Deine Aufgabe besteht hier darin, erstmal zu erkennen, dass hier nur der Anfangs- und der
Endpunkt angegeben sind, aber nicht der Weg, auf dem das Teilchen verschoben werden soll. Zwei Möglichkeiten: 1. Das Feld ist nicht konservativ. Dann ist die Aufgabe unlösbar, weil es auf den Weg ankommt. 2. Das Feld ist konservativ. Dann ist die Aufgabe lösbar, weil der Weg egal ist, und Du kannst Dir irgendeinen aussuchen, der Dir gefällt, z. B. weil die Rechnung besonders einfach wird.
Zeig also zuerst, dass dieses Feld konservativ ist. Danach parametrisierst Du irgendeinen Weg (z. B. den geradlinigen) und rechnest das Arbeitsintegral ∫ F ( r ) · d r aus. Du bekommst dann natürlich kein Ergebnis in Joule, sondern eine reine Zahl, aber die quantifiziert eben auch die geleistete Arbeit.
Wenn es Beschleunigungsarbeit gäbe, hätte das Teilchen im Endpunkt eine andere Geschwindigkeit als am Anfangspunkt; dann wäre nicht nur potentielle Energie im Spiel sondern es müßte auch noch die kinetische berücksichtigt werden. Das würde aber keinen Lerneffekt mit sich bringen.
Meine Lösung, bei der ich mir nicht sicher bin:
W = - (γMm/R)+(γMm/rA) mit
γ=6,67*10-11Nm (Gravitationskonstante)
r = Wurzel(3), rA = Wurzel(12)
W = 1,9*10-11Nm
Für diese Berechnung gehen wir davon aus, dass das Kraftfeld
F ( r ) konservativ ist und somit die Arbeit
wegunabhängig ist. Diese Annahme gilt jedoch nur, wenn die
Bewegung ohne Beschleunigung abläuft.
Ist das so richtig?
Wenn ja, noch eine Frage: Warum kommen in dieser Formel
überhaupt zwei Massen (M und m) vor?
Und eine weitere Frage: Nehmen wir an, wir würden das
Potential für dieses Kraftfeld kennen (bzw. wir kennen ja
zumindest einen Teil davon: -3/2*z*x²+xy+?). Dann würde man ja
theoretisch die Arbeit auch ausrechnen können, indem man das
Integral von F ( r ) in den Grenzen zwischen
rA und r berechnet. Soviel zur Theorie. Aber wie
errechne ich im Endeffekt dieses Integral?
Da der Anfangs- und der Endpunkt gegeben sind durch r A = (1, 1, 1) bzw. r B= (2, 2, 2) drängt sich die Parametrisierung r (t) = (t, t, t) mit tA = 1 und tB = 2 geradezu auf. Der damit gewählte Weg ist der geradlinige zwischen den Punkten.
Das Integral W = ∫ F ( r ) · d r berechnest Du via
W = ∫ F ( r ) · d r = ∫t=tA…tB F ( r (t)) · d r /dt dt
Rechnung:
d r /dt = d/dt (t, t, t) = (1, 1, 1)
F ( r (t)) = (3 t², –t, 3/2 t²)
F ( r (t)) · d r /dt = … = 9/2 t² – 2 t
W = ∫t = 1…2 (9/2 t² – 2 t) dt = [3/2 t³ – t²]t = 1…2 = … = 7.5
Ergebnis: Die geleistete Arbeit W beträgt 7.5.
Muss ich dann für
x, y und z jeweils die Koordinaten der beiden Ortsvektoren
(bzw. der Punkte A und B) einsetzen und man würde das Gleiche
herausbekommen wie mit der Formel, die ich oben verwendet habe?
Nein, das wird grundsätzlich über eine Parametrisierung gerechnet wie oben vorgemacht, weil man ein Integral vom Typ ∫ F ( r ) · d r in dieser Form gar nicht ausrechnen kann.
Irgendwie kommt mir das alles schleierhaft vor. Ich sehe zwar
die Formeln vor mir, aber mir ist nicht wirklich klar, was sie
genau aussagen und warum ich in dem einen Fall das
Potentialfeld kennen muss,
Wie Du siehst, musstest Du das Potential nicht kennen. Wenn Du es aber kennst (dass es existieren muss, weißt Du ja schon, weil F ( r ) konservativ ist), wird es sehr viel einfacher.
Welches Potential Φ zu dem F gehört kann man sich hier leicht überlegen; es muss Φ( r ) = 3/2 x² z – x y lauten. Damit kannst Du die Arbeit ein zweites Mal berechnen:
W = Φ((2, 2, 2)) – Φ((1, 1, 1)) = 3/2*2²*2 - 2*2 - (3/2*1²*1 – 1*1) = 7.5
Jetzt sind wahrscheinlich alle Unklarheiten beseitigt *g*.
Gruß
Martin
