Hallo,
ich bin in einer ähnlichen Situation und wenn es um den „privat Status“ geht, den hast du quasi so oder so. Unterhalte Dich mal mit Deinem Tricare-Provider, generell solltest Du diese/diesen bei Deiner local medical facility finden können.
Es ist -soweit ich weiß- so, dass wenn Du in einer deutschen Kasse versichert bist, zunächst diese Kasse für Dich zuständig ist, ABER alles, was diese Kasse nicht übernimmt und im Leistungsspektrum von TRICARE drin ist, dann von dieser übernommen wird.
Beispiel Zahnarzt (dazu brauchst Du aber das extra „Paket“ Tricare dental care…nochmal ca 10 Dollar im Monat):
Wenn Du zum Zahnarzt gehst und ein Füllung/Inlay benötigst, würden die deutschen Krankenkassen eventuell nur eine Füllung bezahlen, die Mehrkosten für das Inlay müsstest Du selbst tragen. Dann sollte der Fall so liegen, dass die Füllungskosten via deutscher Kasse abgerechnet werdne, die Mehrkosten dann von der TRICARE übernommen werden.
Es ist aber wichtig, dass Du einen von TRICARE akzeptierten Arzt aufsuchst. Es gibt „preferred provider“, das bedeutet, dass Du nicht in Vorleistung gehen musst, sondern diese Zahnärzte selbst mit der TRICARE abrechnen…bei „normalen“ Providern musst Du ggf. zuerst zahlen, Dir dann die Kosten wiederholen…vorher abchecken lohnt sich also.
Zum Thema Kosten-Rückerstattung: Das gilt auch teilweise für Medikamente, die Deine deutsche Kasse nicht übernimmt. Sagen wir mal zum Beispiel Du benutzt die Pille, diese wird regulär von Dir bezahlt. Wenn Du nun mit dem Rezept/der Rechnung zu der Tricare gehst und das einschickst, bekommst Du diese Kosten erstattet.
Ich kann Dir wirklich nur empfehlen, Dich bei der TRICARE beraten zu lassen, damit Du alle Möglichkeiten kennst, trotz „doppelter Versicherung“ hast Du durch die TRICARE viele Vorteile, aber Du musst sie kennen.
Ich habe mir zum Beispiel die HPV-Impfung geben lassen. Viele deutsche Krankenkassen zahlen dass nur bis zu einem sehr jungen Alter (ich glaub 17 oder so)…ich war 24 und mein TRICARE-Arzt hat mir das sogar „sehr ans Herz gelegt“…wollte ich sowieso machen, wurde aber von der deutschen Krankenkasse abgelehnt…wäre ich nicht durch Zufall drauf gestoßen, hätte ich’s auch nicht gewusst.
So…jetzt fällt mir auch nichts mehr ein. 
Liebe Grüße,
Eva