Kreisberechnung für Große?

Freizeit & Hobby Rätsel
#1

Hallo, ich zerbrech mir heute schon den ganzen Tag den Kopf über eine Mathematische Frage und schaff es ohne eure Hilfe nicht diese zu lösen. Also:

Wenn ich eine Murmel habe mit einem Radius X dann kann ich um diese Murmel 6 Murmeln mit dem gleichen Radius platzieren. Soweit ist mir das auch völlig einleuchtend.

Wenn ich nun aber z. B. 8 Kugeln habe und möchte diese um eine Murmel positionieren. Wie kann ich errechnen wie groß der Radius der inneren Murmel sein muss um die 8 unter zu bekommen?

Besten Dank im Voraus für eure Hilfe!

#2

hi,

Wenn ich nun aber z. B. 8 Kugeln habe und möchte diese um eine
Murmel positionieren. Wie kann ich errechnen wie groß der
Radius der inneren Murmel sein muss um die 8 unter zu
bekommen?

ich nehme an, du meinst 8 gleich große kugeln. nennen wir ihren radius r. dann bilden die mittelpunkte dieser kugeln ein regelmäßiges achteck mit den seitenlängen a = 2r.

die große diagonale so eines achtecks beträgt
D=2R=a \cdot \sqrt{4+2 \cdot \sqrt{2}}

die innenkugel ist jedenfalls größer als die 8 außenkugeln.
und jetzt kommts drauf an, wie du die innenkugel platzierst. hat sie ihren mittelpunkt auf derselben höhe wie die außenkugeln, kannst du das über die diagonale des achtecks berechnen und kommst auf einen faktor vón ca. 1,6131.
soll die innenkugel auf derselben ebene aufliegen wie die außenkugeln, kannst du sie spürbar größer machen.
legst du die innenkugel einfach nur auf die 8 außenkugeln, sodass sie auf allen aufliegt, kann sie beliebig groß sein. im extremfall ist der radius der „innenkugel“ unendlich: du legst ein flaches brett auf die 8 kugeln.

m.

#3

vermutlich ist das gemeint:

soll die innenkugel auf derselben ebene aufliegen wie die
außenkugeln, kannst du sie spürbar größer machen.

es bilden dann der halbe durchmesser des achtecks (= der abstand der mittelpunkte zweier genau gegenüber liegenden außenkugeln), der radius der innenkugel minus r und der radius der innenkugel plus r ein rechtwinkliges dreieck.

nämlich:
(r_{i} - r)^2 + (\frac {D}{2})^2 = (r_{i}+r)^2 = r \cdot (1)

also:
(r_{i} - r)^2 + (r \cdot \sqrt{4+2 \cdot \sqrt{2}})^2 = (r_{i}+r)^2

also:
r^2 \cdot (4+2 \cdot \sqrt{2}) = 4 \cdot r_{i} \cdot r

also:
r \cdot \frac{(4+2 \cdot \sqrt{2})}{4} = r_{i} = r \cdot (1+\frac{\sqrt{2}}{2})

also:
r_{i} \approx r \cdot 1,707

und ich hoffe ich habe mich weder verrechnet noch verlatext.

m.

#4

Hallo,

Hallo, ich zerbrech mir heute schon den ganzen Tag den Kopf
…
Wenn ich eine Murmel habe mit einem Radius X dann kann ich um
diese Murmel 6 Murmeln mit dem gleichen Radius platzieren.

Wenn ich nun aber z. B. 8 Kugeln habe…
Wie kann ich errechnen wie groß der Radius der inneren Murmel…

und wenn Du nun 100 Kugeln hast oder eine sonstige Anzahl ?
Du mochtest bestimmt eine allgemeine Lösung, und hier nicht
für „Kugeln“ sondern eigentlich für Kreise - egal.
also:
n=Anzahl der Kugeln
r=Radius dieser Kugeln
R=Radius der Inneren Kugel
Die Lösung:
R=r/sin(360/n/2)-r
und warum ?
Zeichne Dir einfach mal eine beliebige Situation auf, auch die
mit den 6 oder 8 Kreisen.
Verbinde die Kreismittelpunkte (es genügt 2 der äußeren mit dem
des inneren Kreises)
In dem Dreieck kannst Du die obige Beziehung, wie sie die Formel
beschreibt, leicht heraus lesen - wenn nicht, dann rückfragen, aber Du kannst dies schon.
Gruß VIKTOR

#5

Hallo Viktor,
deine Berechnung kann nicht ganz richtig sein. Im Zeichenprogramm habe ich die Situation nachgestellt. Wenn ich 8 Kreise mit einem Radius von 4mm habe muss laut deiner Formel der innere Kreis einen Durchmesser von 12,2 mm haben. Tatsächlich muss er allerdings eine Durchmesser von ca. 12,9 mm haben.

Wie kann das sein?

#6

Hallo,

deine Berechnung kann nicht ganz richtig sein.

das ist nicht meine Berechnung sondern eine Formel,
welche sich aus der Geometrie ergibt.
Du solltest hier nicht rumrechten sondern Dich durch eigene
Anschauung davon überzeugen - was nun wirklich nicht schwer ist.
Mach das einfach, dann hast Du was dazu gelernt.Alles andere
nutzt Dir nix und ist für die Katz.

Wenn ich 8 Kreise mit einem Radius von 4mm habe muss laut deiner
Formel der innere Kreis einen Durchmesser von 12,2 mm haben.

Du mußt eben richtig rechnen.Wenn Du die Formel begreifst - das Ziel
dieser Einlassung - dann wirst Du bei Abweichung erst mal Deine
Berechnung überprüfen und wenn das immer noch abweichen sollte eben
nochmal.

Tatsächlich muss er allerdings eine Durchmesser von ca. 12,9
mm haben.

genauer 12,905mm

Wie kann das sein?

s.vor.
Gruß VIKTOR

#7

Hallo!

Die Lösung:
R=r/sin(360/n/2)-r

… ist korrekt, aber so wie Du es geschrieben hast, missverständlich (vor allem der Doppelbruch). Du meintest:

R=\frac{r}{\text{sin}\frac{\frac{360^o}{n}}{2}}-r=r \cdot (\frac{1}{\text{sin}\frac{180^o}{n}}-1)

Gruß, Michael

PS: Weiß jemand, wie man in Latex „360°“ schreibt? Ich habe irgendwo \degree gefunden. Der Befehl scheint hier nicht erkannt zu werden. Auch \text{360°} führt nicht zum gewünschen Ergebnis, sondern zu

\text{360°}
.

Ich habe es nun ganz schlimm mit der Brechstange gelöst: „360^o“. Schön ist anders …

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#8

Hallo Michael,

Die Lösung:
R=r/sin(360/n/2)-r

… ist korrekt, aber so wie Du es geschrieben hast,
missverständlich (vor allem der Doppelbruch).

nein, ist es nicht wenn man konsequent ist wie man soll.
Es ist meiner Ansicht nach übersichtlicher zu lesen als Deine
Darstellung.Es entspricht auch genau der Vorgehensweise mit einem
Taschenrechner oder beim Schreiben eines Programm-Cod (was heute
jeder kann) so daß nur völlige Anfänger irritiert sein könnten.
Klammern sind das „Geheimnis“ also:
360/n/2 ist nicht 360/(n/2),wie Du meinst daß man es verwechseln
könnte.Der Fragesteller hat auch nicht verwechselt sondern einfach
irgendetwas falsch eingetippt, deshalb sein etwas anderes Ergebnis.
Gibt es nicht wichtigere „Sachverhalte“ um gegen zu halten! - wenn
sie denn falsch sind ?
Gruß VIKTOR

#9

Hallo!

Die Lösung:
R=r/sin(360/n/2)-r

… ist korrekt, aber so wie Du es geschrieben hast,
missverständlich (vor allem der Doppelbruch).

nein, ist es nicht wenn man konsequent ist wie man soll.

Die Tatsache, dass ich die Formel missverstanden habe, bis ich sie selbst nachgerechnet hatte, zeigt doch, dass sie missverständlich war.

Es ist meiner Ansicht nach übersichtlicher zu lesen als Deine
Darstellung.

Das ist nicht „meine“ Darstellung, sondern die allgemein übliche. Ich halte diese für übersichtlicher.

Es entspricht auch genau der Vorgehensweise mit
einem
Taschenrechner oder beim Schreiben eines Programm-Cod (was
heute
jeder kann) so daß nur völlige Anfänger irritiert sein könn
ten.

Dann bin ich halt ein völliger Anfänger.

Wir schreiben hier übrigens nicht Programm-Code, sondern Klartext, und da das Assioziativgesetz für die Division nicht gilt, sollten Schreibeweisen wie

x:y:z

oder

a/b/c

vermieden werden.

Gibt es nicht wichtigere „Sachverhalte“ um gegen zu halten! -
wenn
sie denn falsch sind ?

Ich habe Dir in keinem Punkt „gegengehalten“ (um Dein Lieblingsverb zu verwenden), sondern Dir in allen Punkten zugestimmt. Ich habe Dir brav ein Sternchen gegeben und lediglich die von Dir richtig aufgestellte Formel in einer anderen, nach meinem Verständnis eindeutigeren Schreibweise dargestellt.

Gibt es nicht wichtigere Sachverhalte…?

Michael

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#10

Hallo Michael,

Die Lösung:
R=r/sin(360/n/2)-r

… ist korrekt, aber so wie Du es geschrieben hast,
missverständlich (vor allem der Doppelbruch).

nein, ist es nicht wenn man konsequent ist wie man soll.

Die Tatsache, dass ich die Formel missverstanden habe, bis ich
sie selbst nachgerechnet hatte, zeigt doch, dass sie
missverständlich war.

nein, daß zeigt nur, daß Du dies mißverständlich findest.
Sonst niemand.Es wurde hier immer schon so geschrieben vor allem
als es noch nicht möglich war, mit einem Pseudo-Cod hier eine andere
Darstellung solcher Formeln zu präsentieren.

Es ist meiner Ansicht nach übersichtlicher zu lesen als Deine
Darstellung.

Das ist nicht „meine“ Darstellung, sondern die allgemein
übliche. Ich halte diese für übersichtlicher.

Ach hör endlich auf.
Gruß VIKTOR