Hier eine Denksportaufgabe, die mich seit Jahren beschäftigt.
Zwei Bauern gehört ein kreisrundes Wiesengrundstück mit dem Durchmesser 30 m je zur Hälfte.
Ein Bauer möchte seine Kuh grasen lassen, rammt einen Pfosten genau auf die Grundstücksgrenze und bindet die Kuh mit einem Seil fest.
Wie lange darf das Seil sein, damit die Kuh maximal die Hälfte der Grundstücksfläche abgrasen kann.
Hallo
Die Aufgabe ist ebenso spannend wie schwer - die meisten Lösungen, die ich zu diesem Problem kenne, approximieren die Lösung mit Hilfe von numerischen Verfahren.
Bevor ich hier ohne hübschen Formeleditor anfange den Lösungsweg zu skizzieren verweise ich stattdessen auf eine wunderschön ausgearbeitete Lösung, die ich im Internet gefunden habe:
http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/dl.php?..
Na, diese Aufgabe ist doch leicht und mit etwas Überlegung einfach zu lösen.
Die Kreisformeln lauten:
d = 2 r
u = 2 π r
A = π r²
Kreiszahl pi:
π = 3.141592653589793. . .
Wenn ich den Durchmesser (d = 30m) habe kann ich mir den Radius (r = 15m), den Umfang (u) und die Fläche (A) berechnen. Habe ich die Fläche (A = 706,85835 m²), teile ich diese durch zwei (= 353,429175) und berechne von dieser Fläche den Radius (= 10,6066 m).
Länger darf das Seil nicht sein, wenn er keine Schwierigkeiten mit seinem Nachbarn haben will.
Hm, ich würde mal behaupten: 15m …
hi,
ist einen nette aufgabe über die du da grübelst 
also die fläche vom kreis ist r^2 * pi
r = 15 -> A = 15^2 * pi
das was die kuh fressen darf ist die hälfte der wiese
15^2 *pi /2
wenn man in die kreisformel A = r^2 *pi
diesen wert (also 15^2 *pi /2)für A einsetzt, und das nach r auflöst, erhält man den radius des kreises den die kuh abgrasen darf, also die länge des stricks mit dem sie anzuleinen ist. hier schritt für schritt durchgerechnet:
A = r^2 *pi … 15^2 *pi /2 einsetzten für A
15^2 *pi/2 = r^2 *pi … pi wegkürzen
15^2 /2 = r^2 … wurzel ziehen um nach r zu lösen
15 / sqrt(2) = r
sqrt = squareroot- quadratwurzel
gerundet ergibt das eine seillänge von 10,6 metern.
wenn der pfosten jetzt genau in der mitte des kreisgrunsstücks eingeschlagen ist, kann die kuh die hälfte der wiese abgrasen, wenn der pfosten eher am rand ist und sich die beiden kreise teilweise überschneiden, dann kommt die kuh an weniger als die hälfte der wiese heran, daher die frage nach der „maximalen“ länge des seils.
hoff du kennst dich aus,
liebe grüße
lili
Hallo!
Eine Formel fuer den Flaecheninhalt des gemeinsamen Teils zweier ueberlappender Kreise wird benoetigt. Die Herleitung einer solchen Formel fand ich im Abschnitt 1 von
http://www.sternwarte-hagen.de/ueber/taetigkeitsbere…
Dann bedarf es nur noch des Einsetzens konkreter Zahlen und etwas Trigonometrie.
HTH
soja
Die Fläche des ganzen Kreis ist Radius (=15m) zum Quadrat mal Pi.
Der Radius für die halbe Fläche ist die gesuchte Seillänge. (Also Ergebnis von oben durch 2 dividieren dann noch mal durch Pi dividieren und dann die Wurzel ziehen).
lg
günter
Das Seil muss 17,52 m lang sein.
Diese Angabe ist nicht genau weil ich die für die Berechnung nötigen Winkel von der Zeichnung abnehmen musste.Ich schätze plus-minus 6 cm.
Das dürfte aber sowohl der Kuh,als auch dem Bauern egal
sein.
Duch die Rechnerei wurde mir bewusst wie viel von meinen Schulwissen ich schom vergessen habe.
KURT
Hallo M.Lion,
tut mir leid, dass ich Deine Frage noch nicht beantwortet habe; ich war im Urlaub. Ist sie noch aktuell oder hast Du inzwischen eine Antwort gefunden?
Beste Grüsse,
SdV
Leider bin ich diesem Thema die totale Niete
Tut mir Leid
Hallo,
ich bin erst jetzt wieder eindatzbereit.
Wahrscheinlich hat sich Deine Frage erledigt, ich möchte dennoch wissen, ob du eine Lösung erhalten hast.
Nachdem ich ziemlich rumgerechnet habe, fand ich eine -allerdings keine rechnerische, sondern eine mit Hilfe von Excel. Mich würde interessieren, was die andere geantwortet haben und wäre für eine Antwort sehr dankbar.
Gruß Günter