Ich habe hier ein Thema der höheren Mathematik.
Ich habe eine Kugel. Die zweite Schale hat dann entsprechend 12 Kugeln. Jetzt möchte ich aber mit einer Formel oder Funktion berechnen, wieviele Kugeln ich für die n-te Schale brauche? Wer kennt sich mit solchen Folgen aus? Mir scheint, das dies eine exponentielle Funktion ist. Ich habe auch bereits eine Wertetabelle erstellt, bis zur 12. Schale. Sie sieht folgendermaßen aus!
1=1, 2=13, 3=57, 4=153, 5=323, 6=587, 7=967, 8=1483,
9=2157, 10=3009, 11=4061, 12 =5333
Und wie bist du auf diese Werte gekommen?
Ich habe eine Konstruktion von Kugeln in der Ebene berechnet und habe dann geschaut, wieviele Kugeln passen auf jede Ebene noch drauf.
Also habe ich in der 2. Schale 7 Kugeln in der mittleren Schicht und oben passen noch 3 Kugeln drauf, das also 2x, also 3+7+3=13 Kugeln.
Die dritte Ebene hat in der mittleren Ebene dann 12 weitere Kugeln mehr als die 2, also 19 Kugeln, auf die 19 Kugeln passen dann noch 12 Kugeln und auf diese 7. Also 7+12+19+12+7 sind dann 57 Kugeln und dieses Spiel habe ich so lange fortgeführt, bis ich beim Blatt kein Platz mehr gehabt habe.
Aber es gibt folgende Zahlen, die sich ständig wiederholen: 1, 3, 7, 12, 19, 27, 37, 48, 61, 75, 91, 108 usw.
Ich glaube nicht, daß sich dafür eine polynominale Lösung findet. Insgesamt hast du es ja hier mit dem Problem der → dichtesten Kugelpackung zu tun. Siehe auch → hier. Dafür gibt es aber zwei Lösungen (die kubisch-flächenzetrierte und die hexagonale Packung), die aber im Resultat (Verhältnis Raumvolumen/Kugelvolumen) identisch sind, wie die inzwischen bewiesene → Keplersche Vermutung zeigte. Beide Lösungen unterscheiden sich im Schichtenaufbau:
Wenn du nun aber aus dem Schichtenaufbau auf den Schalenaufbau schließen willst, wirst du unterscheiden müssen, welche Packung du wählst. Es ist dann die Frage, was genau du als eine jeweils „nächste Schale“ definieren willst. Also was genau zählt zu der nächsten Umgebung einer nächsten Umgebung - von einer definierten zentralen Kugel aus betrachtet.
Auch mit zu berücksichtigen ist das allgemeine Problem von Kugelpackungen: Wenn es umgekehrt darum geht, Wie packt man eine bestimmte Anzahl identischer („harter“) Kugeln, so daß die konvexe Hülle minimal ist (= das minimale benötigte Raumvolumen). Dabei stößt man auf die paradoxe sog. „Wurstkatastrophe“, für die es noch keine analytische Erklärung gibt.
Gruß
Metapher
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Ich habe die Formeln in ein Kalkulationsprogramm geschrieben, was aber nicht zur Lösung geführt hat. Aber ein weiterer Hinweis hat mich dann auf die Lösung gebracht, deswegen vielen Dank dafür! Also die Formel lautet: (7/8)*((n+1)^4-n^4)+((-1)^n)/8
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