Hallo,
ich habe eine Quelle welche sagt die Kurtosis einer Normalverteilung ist immer 3. Eine andere Quelle sagt dies gilt nur für die Standardnormalverteilung. Welche Quelle hat Recht?
Beste Grüße
Max
ich habe eine Quelle welche sagt die Kurtosis einer
Normalverteilung ist immer 3. Eine andere Quelle sagt dies
gilt nur für die Standardnormalverteilung.
Hallo Max,
die Kurtosis einer Normalverteilung N(μ,σ2) ist
\beta_2=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}x^4e^{-\frac{1}{2}x^2}\ dx.
Sie hängt also nicht von μ oder σ ab. Deshalb ist sie für jede Normalverteilung gleich, nämlich 3.
Gruß
hendrik
Hallo Max,
vielleicht noch ein Wort zur Intuition. Die Kurtosis ist bei einer Normalverteilung immer 3. Dies liegt daran, dass normierte Größen verwendet werden.
Ein n-tes zentriertes Moment ist definiert als:
E\left[\left(X-E\left[X\right]\right)^n\right]
Das n-te Moment wird also mit dem Mittelwert zentriert. Um die Kurtosis zu errechen wird nun das 4. zentrale Moment genutzt, welches noch durch die vierte Potenz der Standardabweichung dividiert wird.
\frac{E\left[\left(X-E\left[X\right]\right)^n\right]}{\sigma^n}
Da sigma eine feste unbekannte Zahl ist, kann ich es einfach in den Erwartungswert ziehen und erhalte:
E\left[\frac{\left(X-E\left[X\right]\right)^n}{\sigma^n}\right]
Ein wenig umstellen und wir sehen:
E\left[\left(\frac{X-E\left[X\right]}{\sigma}\right)^n\right]
Wie du nun siehst, wird mein X normiert und ich habe immer eine Standardnormalverteilte Variable in der Klammer stehen. Daher ist es egal wie der Erwartungswert und die Varianz ist, die Kurtosis ist immer 3 bei einer Normalverteileten Variable.
Der Wert der Kurtosis, Schiefe und Varianz hängt also nur von der normierten Dichtefunktion ab.
viele Grüße
Hi, vielen Dank für eure Antworten.
Beste Grüße
Max