Hallo Matheexperten,
Wie kann ich eine normale auf einer Funktion zu einem gewissen Schnittpunkt erstellen?
Liebe Grüße,
Chris
Hallo,
ist doch eigentlich ganz einfach:
je nach dem, wie Du zu dem Schnittpunkt kommst (entweder durch eine Gerade oder durch Wahl des Punktes), definiert sich die Normale entweder als Gerade mit rechtem Winkel zur der Schnittgeraden oder zur Tangente, sprich, der Punkt ist vorgegeben und die Steigung ist negative Reziproke zur Gleichungs- oder Tangentensteigung - damit kannst Du dann die Gleichung aufstellen.
Viele Grüße.
Hallo Chris,
die Normale ist eine Gerade, die in einem bestimmten Kurvenpunkt genau senkrecht durch den gegebenen Punkt verläuft. Zwischen der Steigung mt der Tangente im Punkt P(xp/yp) und der Steigung mn der Normalen besteht immer das Verhältnis mn = -1/mt.
Du bestimmst also zunächst mal mit Hilfe der ersten Ableitung die Steigung der Tangente, indem Du xp in die erste Ableitung einsetzt und den Wert errechnest: f’(xp) = mt.
Dann berechnest Du mn mit der Formel mn = -1/mt.
So, nun hast Du die Steigung der Normalen und weißt, dass sie durch den Punkt P(xp/yp) verläuft. Mit der Punkt-Steigungsform lässt sich dann die Gleichung der Normalen berechnen.
Viele Grüße
funnyjonny
Du bestimmst die Steigung m=f’(x) für diesen Punkt;
dann ist die Normalensteigung dort n= -1/m.
Mit dieser Steigung und den Koordinaten des Punkts bestimmst du die Normalengleichung.
ganz einfach: Die Tangentensteigung berechnest Du zunächst wie Du es mit Hilfe der Differentialrechnung gewohnt bist, obwohl nach der gar nicht gefragt wurde. Für x setzt Du den x-Wert des Berührpunktes in die Ableitung ein, so dass Du jetzt für die Tangentensteigung eine konkrete Zahl mtang hast. Die gesuchte Normalensteigung ist nun der negative Kehrwert davon, also mnorm = - 1:mtang. Die fertige geradengleichung bekommst Du nun wie gewohnt (sei es Punkt/Steigungsform - sei es Einsetzen des Berührpunktes (den y-Wert musst Du jedesmal über die Funktionsgleichung bestimmen)oder sonstwie).
Viele Grüße von Max
Hallo Chris,
es gibt 2 Möglichkeiten, die erste, „von Hand“:
die Normale schneidet die Funktion rechtwinklig, dass heißt die Steigung der Funktion im Schnittpunkt und die Steigung der Normalen sind negative Kehrwerte zueinander. Deshalb:
Funktion ableiten und x-Wert des Schnittpunkts einsetzen. Davon den negativen Kehrwert nehmen, das ist die Steigung der Normalen. Die Normale ist eine Gerade, hat also diesen Aufbau:
y=m*x+c
m ist die Steigung, die hast du jetzt. Jetzt den x-Wert des Schnittpunkts für x, den y-Wert des Schnittpunkts für y einsetzen, es fehlt also nur c, danach kannst du die Gleichung nun auflösen. Damit hast du m und c und damit die Geradengleichung.
Bei der 2. Möglichkeit muss man nur einsetzen und vereinfachen, die macht die oberen schritte quasi automatisch. Man nimmt die Normalenformel:
y = -1/f’(u) + (x-u) + f(u)
u ist der x-Wert des Schnittpunkts
f’(u) ist die Ableitung der Funktion ( f’(x) ) in die man u einsetzt (und ausrechnet)
f(u) ist die Funktion, in die man u einsetzt
Ergibt also zb so etwas:
y = 0,4*(x-5) + 9
ausmultiplizieren:
y = 0,4*x -2 + 9
und zusammenrechnen:
y = 0,4*x+7
Das ist die Normale.
Meld dich, wenn noch was unklar ist.
Viele Grüße,
Fabi123
Ist leider ein Tippfehler drin, die Normalenformel lautet
y = -1/f’(u) * (x-u) + f(u)
und NICHT
y = -1/f’(u) + (x-u) + f(u)
Hallo,
die Normale ist die Senkrechte zur Tangente an die Kurve in dem gegebenen Punkt.
Ihre Gleichung findest Du in zwei Schritten:
- Du berechnest die Steigung m1 der Kurve im gegebenen Punkt, indem Du den x-Wert Deines Punktes in die erste Ableitung f’(x) einsetzt.
- Daraus berechnest Du die Steigung m2 = -1/m1 der Normalen und setzt diesen Wert und die Koordinaten x1 und y1 des gegebenen Punktes in die Punkt-Steigungs-Form einer Geraden ein:
y - y1 = m2 *(x - x1)
und löst nach y auf.
Viel Erfolg und Gruß!
Jobie
die Frage ist etwas seltsam, denn eine Normale ist die Senkrechte zur Tengente durch einen Punkt auf dem funktionsgraphen. Davon gibt es zu jedem Punkt der Funktion nur eine, also DIE Normale (groß geschrieben).
Falls du die meinst geht das so:
Gegeben: f(x) = … Funktionsterm und P(xp / yp)
gesucht Normale: y= mx + t im Punkt P:
Lösung:
- berechne die 1. Ableitung von f an der Stelle xp:
also f(xp) - Es gilt für zueinander senkrechte Geraden: m1 * m2 = -1
Es ist also die Steigung deiner Normalen: mn = - 1/mt
Damit hast du sie Steigung der Normalen. Es fehlt noch deren y-Achsenabschnitt.
- Den erhältst du indem du den Punkt P ind die Normalengleichung mit jetzt bekannten mn einsetzt und nach t auflöst.
Fertig: y = mn x +t