Hallo
erst mal 2 Dinge:
Für die Schulmathematik gilt:
eine Gleichung 4. Grades kann nur durch Erraten einer NS und dann durch Polynomdivision gelöst werden.
Ich vermute die Aufgabe lautet vielleicht so wie in der Überschrift, dann wäre die Gl duch ausklammern von x^3 leicht auf eine lineare Gl zurückzuführen.
Wenn nicht dann gibt es zwei relle und 2 komplexe Lösungen:
die reellen Nullstellen sind Näherungswerte.
Lösen der biquadratischen Gleichung -0,25x^4 + x³ - 2 = 0
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Die Gleichung wird zunächst durch Division mit -0,25 auf die Normalform
x^4 + ax³ + bx² + cx + d = 0 gebracht.
x^4 - 4x³ + 8 = 0
Durch die Substitution x = y - a/4 wird die Gleichung in die Form
y^4 + py² + qy + r = 0 gebracht, die kein kubisches Glied mehr aufweist.
(y + 1)^4 - 4(y + 1)³ + 8 = 0
Statt auszumultiplizieren, kann man die neuen Koeffizienten auch direkt berechnen:
p = b - 3a²/8 = -6
q = a³/8-ab/2+c = -8
r = -(3a^4 - 16a²b + 64ac - 256d)/256 = 5
y^4 - 6y² - 8y + 5 = 0
Diese Gleichung kann über ihre kubische Resolvente z³ - 2pz² + (p²-4r)z + q² = 0
gelöst werden.
z³ + 12z² + 16z + 64 = 0
Man benötigt also zunächst die Lösungen dieser Gleichung.
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Lösen der kubischen Gleichung x³ + 12x² + 16x + 64 = 0
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Die kubische Gleichung liegt bereits in der Normalform x³ + rx² + sx + t = 0 vor.
Durch die Substitution x = y - r/3 wird die Gleichung in eine reduzierte Form
y³ + py + q = 0 gebracht, in der kein quadratisches Glied mehr auftritt.
(y - 4)³ + 12(y - 4)² + 16(y - 4) + 64 = 0
Die neuen Koeffizienten können bequemer auch direkt berechnet werden:
p = s - r²/3 = -32
q = 2r³/27 - rs/3 + t = 128
y³ - 32y + 128 = 0
Aus der Gleichung liest man also ab:
p = -32 q = 128
Nun muß der Wert R = (q/2)²+(p/3)³ betrachtet werden.
Ist R > 0, so hat die kubische Gleichung eine reelle und zwei komplexe Lösungen,
ist R = 0, hat sie drei reelle Lösungen, von denen zwei zusammenfallen,
und im Falle R
