Prinzipiell ist der Inhalt einer Fläche zwischen dem Graphen einer (stetigen) Funktion und der x-Achse zwischen zwei aufeinanderfolgenden (!) Nullstellen (oder alternativ auch zwischen anderen Intervallgrenzen - es sollte eben im Intervall kein Vorzeichenwechsel statt finden!) gegegeben durch:
A = Integral (von einer Nullstelle zur nächsten) f(x) dx
Ist die Fläche unter der x-Achse, so muss man noch ein Minuszeichen davor schreiben. Alternativ einfach Betragsstriche um das Ganze, dann stimmt das Ergbnis immer.
Wichtig ist vor allem, dass im Intervall kein Vorzeichenwechsel statt findet; wäre das der Fall, so wäre ein Teil der Fläche unter, ein anderer über der x-Achse, und die Beiträge der beiden Flächen würden sich gegenseitig (teilweise) wegheben!
Das Integrieren selbst ist (bei ganzrationalen Funktionen) relativ einfach: eine Stammfunktion F(x) finden („aufleiten“, genau umgedreht wie ableiten; allgemein ist x^(n+1)/(n+1) eine Stammfunktion zu x^n), diese in eckigen Klammern hinschreiben, hinten dran die Grenzen (wie beim Integral: unten die kleinere Zahl, oben die größere). Dann einsetzen: erst die obere Zahl, davon abgezogen das, was beim Einsetzen der unteren Zahl rauskommt. Als Formel: [F(x)]^b_a = F(b) - F(a)
In Aufgabe 1: Nullstellen sind -Wurzel(3), 0 und Wurzel(3). (hast du hoffentlich auch raus?) Im Intervall von -1 bis 2 liegen die Nullstellen 0 und Wurzel(3), und dort wechselt jeweils das Vorzeichen - also darf man nicht über das gesamte Intervall auf einmal integrieren, sondern muss die drei Teilflächen einzeln machen, jeweils einzeln mit Betrag! Ich schreibe im Folgenden für das Integral von a bis b kurz int^b_a.
A = |int^0_-1 (1/6x^3-1/2x) dx| + |int^Wurzel(3)_0 (1/6x^3-1/2x) dx| + |int^2_Wurzel(3) (1/6x^3-1/2x) dx|
(nicht etwa |int^0_-1 (1/6x^3-1/2x) dx + int^Wurzel(3)_0 (1/6x^3-1/2x) dx + int^2_Wurzel(3) (1/6x^3-1/2x) dx| ! sieht sehr ähnlich aus, ist aber falsch!)
Aufleiten:
= | [1/24 x^4 - 1/4 x^2]^0_-1 | + | [1/24 x^4 - 1/4 x^2]^Wurzel(3)_0 | + | [1/24 x^4 - 1/4 x^2]^2_Wurzel(3) |
Einsetzen (die jeweiligen Klammern vorne machen es übersichtlich, sind aber nicht unbedingt nötig; die jeweiligen Klammern hinten sind nötig!):
= | (1/24*0^4 - 1/4*0^2) - (1/24*(-1)^4 - 1/4*(-1)^2) |
- | (1/24*Wurzel(3)^4 - 1/4*Wurzel(3)^2) - (1/24*0^4 - 1/4*0^2) |
- | (1/24*2^4 - 1/4*2^2) - (1/24*Wurzel(3)^4 - 1/4*Wurzel(3)^2) |
Ausrechnen (am besten nicht alles auf einmal in den Taschenrechner tippen, man vertippt sich leicht; Zwischenschritte machen!):
= | 0 - (-5/24) | + | -3/8 - 0 | + | 2/3 - (-3/8) |
= 5/24 + 9/24 + 25/24
= 39/24 = 13/8 = 1,625
Ich hoffe, die zweite Aufgabe bekommst du nun selbst heraus? (Tipp: man braucht wieder drei Integrale; das Ergebnis ist 14,25)
Außerdem könnte man bei beiden Integralen noch die Symmetrie des Integranden ausnutzen und sich so Arbeit sparen - aber ich glaube, die Grundlagen genügen erst mal, oder? 
Ach ja: und lass’ dich nicht davon entmutigen, dass die Formeln hier teilweise fürchterlich aussehen - auf dem Papier sieht das alles einfacher aus als hier, und letztlich sind alles nur einfache Rechenschritte! Wie immer gilt: Übung macht den Meister, nach ein paar Aufgaben ist das alles nicht mehr so schwierig, wie es erst mal scheinen mag. 
