Länge eines Breitengrades

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo,
ich bin nun schon einige Zeit am grübeln, wie ich die Länge der Breitengräde berechnen kann.

Ich habe beim Recherchieren schon die folgende Formel gefunden:
2*pi*6378.137*cos(x) mit 6378.137=Erddurchmesser

Wenn ich für x=0 einsetze, bekomme ich 40075.016685578km und habe damit den Äquator (Wikipedia sagt 40075,016686 km). Da ich aber leider keine Ergebnisse für die Breitengräde gefunde habe, kann ich mein Ergebnis nicht an diesen verifizieren.

Ist meine Formel richtig?

Mit freundlichen Grüßen

G-Fire

#2

Ja,

die Formel ist richtig. Wenn man sich das ganze mal aufmalt, kommt man genau auf diese Formel.

Gruß

#3

Vielen Dank erstmal für Deine Antwort!

Wenn ich zwei Punkte A und B habe, die parallel zu den Breitengräden liegen, müsste ich doch durch
2*pi*6378.137*cos(B)-2*pi*6378.137*cos(A)
den Abstand in Kilometern erhalten.

Ich nehme A=8.752512956889841 und B=8.75249747239073 und ich weiß, dass der Abstand zwischen den beiden punkten (ungefähr) einen Meter betragt.

Wenn ich aber
2*pi*6378.137*cos(8.75249747239073)-2*pi*6378.137*cos(8.752512956889841) ausrechne, bekomme ich als Ergenis 0.00164803937km, also ca. 60cm mehr als erwartet.

Mache ich etwas falsch oder ist die Formel einfach zu ungenau? Wenn sie zu ungenau ist, wie bekomme ich sie genauer?

Grüße

#4

Vielen Dank erstmal für Deine Antwort!

Wenn ich zwei Punkte A und B habe, die parallel zu den
Breitengräden liegen, müsste ich doch durch
2*pi*6378.137*cos(B)-2*pi*6378.137*cos(A)
den Abstand in Kilometern erhalten.

Nein.
Deine Formel von vorhin rechnet dir den Kreisumfang eines Breitengrades aus. Mit dem was du hier jetzt schreibst, bildest du also die Differenz der beiden Umfänge und hast prinzipiell gar nichts gewonnen.

Den Abstand z der beiden Punkte auf einem Kreis bekommst du, wenn die Differenz der beiden Winkel (x=A-B) und das Kreisstück für diesen Winkel errechnest.

z=2*pi*r*x/360

Ich gehe davon aus, dass A und B in Grad angegeben sind.

Genau genommen, hast du damit den Abstand der beiden Breitengerade auf der Oberfläche errechnet. Um den Abstand von zwei bestimmten Punkten zu bestimmen, brauch es noch mehr Infos.

Aber für so eine Genauigkeit sind die Bedingungen einfach zu schlecht.
Die Erde ist nämlich keine perfekte Kugel. Von Bergen und Tälern abgesehen ist die Erde die unterschiedliche Dichte und durch Fliekräfte eher eine Kartoffel. Der Abstand vom Äquator zum Erdmittelpunkt ist so größer als der Abstand zwischen Nordpol und Erdmittelpunkt.

Das Ergebnis hängt also auch davon ab, welchen Abstand die Breitengrade tatsächlich zum Erdmittelpunkt haben.

Ansonsten weisen auch die Messgeräte Fehler auf. Keine Ahnung wie genau die wirklich sind und ob die Messwerte von äußeren Umständen beeinflusst werden.

GPS zum Beispiel kann meines Wissens nach die Position auch nur auf wenige Meter genau bestimmen.

Gruß

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#5

Wenn ich zwei Punkte A und B habe, die parallel zu den
Breitengräden liegen, müsste ich doch durch
2*pi*6378.137*cos(B)-2*pi*6378.137*cos(A)
den Abstand in Kilometern erhalten.

Nee, müsstest Du nicht. Du rechnest hier aus, wie sehr sich die Länge des A-ten Breitengrades von der Länge des B-ten Breitengrades unterscheidet. Das hat mit Abständen erst einmal gar nichts zu tun, und parallel zu Breitengraden ist da auch nix.

Ich nehme A=8.752512956889841 und B=8.75249747239073 und ich
weiß, dass der Abstand zwischen den beiden punkten (ungefähr)
einen Meter betragt.

Verstehe ich Dich recht, dass Du (vom GPS?) weißt, dass zwei Punkte X°Nord A°Ost bzw. X°Nord und B°Ost ungefähr einen Abstand von 1m haben, und dass Du das jetzt mit Deiner Formel überprüfen möchtest?

Dann musst Du erst einmal die Länge des X-ten Breitengrades ausrechnen, also L=2*π*6378.137*cos(X). (Kann ich jetzt nicht für Dich ausrechnen, weil ich nicht weiß, auf welchem Breitengrad Du sitzt.)

Das sind jetzt aber 360°, einmal rum. Du willst wissen, wie lang (B-A)° sind, na dann nimm doch den Dreisatz:

360° haben die Länge L.
Dann hat 1° die Länge L/360.
Dann haben (B-A)° die Länge (B-A)*L/360.

Und? kommt jetzt 1m raus?

Mache ich etwas falsch oder ist die Formel einfach zu ungenau?
Wenn sie zu ungenau ist, wie bekomme ich sie genauer?

Ungenau ist die Formel trotzdem, weil sie davon ausgeht, dass die Erde eine Kugel ist. Ist sie aber nicht (http://de.wikipedia.org/wiki/Geoid).
Genauer bekommst Du sie nur empirisch oder mit der lustigen Formel auf der von mir verlinkten Wiki-Setie. Aber das willst Du nicht wirklich, oder?

Liebe Grüße
Immo

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#6

Mache ich etwas falsch oder ist die Formel einfach zu ungenau?

Hallo,

bei dieser Formel gehst du implizit davon aus, dass du Erde eine Kugel (oder zumindest ein Ellipsoid) ist. Die Formel wäre genau, wenn die Erde diese Form hätte, also keine Berge und Täler oder so Scherze.
In Wahrheit ist der von dir verwendete Erdradius ja nur ein Durchschnittswert und der Abstand zum Erdmittelpunkt ist an den meisten Orten ein anderer.

Gruß

hendrik

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#7

Hallo,

na, einer noch von mir.
Mit dem Ansatz kommen wir der Sache schon näher. Man muss sich das vllt. nochmal aufzeichnen.
Ich hab’ mich mal rangetastet, bei 54 ° Breite (Nordseeküste?)
erhält man 1,01 Meter.

Wer die Länge mit 14 Nachkommastellen bestimmen kann …
hat ein sehr teures Gerät oder gemogelt.

Roland

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#8

Moin,

Wenn ich zwei Punkte A und B habe, die parallel zu den
Breitengräden liegen, müsste ich doch durch
2*pi*6378.137*cos(B)-2*pi*6378.137*cos(A)
den Abstand in Kilometern erhalten.

Wie schon geschrieben, das ist nur die Längendifferenz der beiden Breitengrade. Wie’s besser geht kam auch schon. Aber noch ein prinzipielle Anmerkung:

Du gibts den Erdradius auf den Meter genau an R=6378,137km. Das ist schonmal ziemlich gewagt, da der polare und äquatoriale Radius sich schon um 8 km unterscheiden. Dann kannst Du niemals erwarten, dass die Genauigkeit irgendeines Ergebnisses, welches Du hier annimmst im Dezimeterbereich liegt, sondern bestenfalls auf 100m oder so. Studenten ziehe ich in Übungsserien und Klausuren regelmäßig Punkte ab für das Vorspiegeln solch haarsträubender Genauigkeiten, die schon ob der (Un-)Genauigkeit der Eingangsgrößen gar nicht gegeben sein kann.

Willst Du es genauer, so mußt Du mit Großkreisen auf einem Referenzellipsoid oder gar Geodäten auf dem Geoid rechnen. Sphärische Geometrie läßt grüßen.

Gruß,
Ingo

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#9

Vielen Dank nochmal für Eure Antworten!
Ich war die letzten Tage verhindert, wodurch ich hier nicht antworten konnte.

Nun nochmal zurück zu meinem Problem:
Die GPS-Daten habe ich aus einem Vermessungsprogramm, also nicht selber nachgemessen oder speziell vermessen :smile:

Das ich keinen Längengrad angegeben habe, war natürlich dämlich, was mir nun auch klar ist. In meinem Beispiel war es übrigens 53.12872986109397 (das dürfte irgendwo in Bremen sein).

Ich habe meine Formel nochmal angepasst, um den Erdumfang an einem bestimmten Breitengrad mit einfließen zu lassen:
(2*pi*cos(BreitenGradPunktA)*6378.137)/360*LängenGradPunktA-(2*pi*cos(BreitenGradPunktB)*6378.137)/360*LängenGradPunktB

Mit dem horinzontalen Abstand (aus der genannten Formel) und dem vertikalen Abstand (der ist ja zum Glück einfacher) wollte ich mit Trigonometrie den Abstand errechnen. Bei geringen Abständen, sollte dies bei so einem größen Ball wie die Erde, kein Problem sein und der Fehler gering bleiben.

Nur leider macht mir die obengenannte Formel immer noch Probleme. Rein vom Sinn her, weiß ich aber nicht was daran falsch sein sollte.
Ich ziehe den Abstand vom 0. Längengrad eines Punktes unter Berücksichtigung des Erddurchmessers an dessen Stelle von einem anderen Abstand zum 0. Längengrad ab. Das hier irgendwelche Berge oder dergleichen so einen hohen Fehler herbeiführen, kann ich mir beim besten Willen nicht vorstellen. Trotzdem ist das Ergebnis auf kurzen Strecken schon meterweit daneben.

#10

Hallo,

Du musst mit Deinen Fragen zu den Geowissenschaftlern … zu den Geodäten :smile:

Du wunderst Dich, dass das Naheliegende nicht funktioniert.
Probier’s mal am Äquator.
Bei 1°x1° wirst Du immer noch 400-500 m daneben liegen, aber vrmtl. viel besser als in der Höhe von Bremen.
Bei 0,1°x0,1° werden nur noch so 30 m Differenz auftreten.

Zwei Dinge spielen eine Rolle: Der ‚passende‘ Erdradius und die Rechtwinkligkeit der Koordinaten.

Das einfachere zuerst.
Wenn Du den passenden Kugelradius einsetzen könntest, würde es am Äquator auch bei 1°x1° sehr gut passen.
Der passende Kugelradius wäre 6356.752 km-
-?-
Das ist der Radius der Kugel, die sich dem Erdellipsoid am Äquator am besten anschmiegt -> Schmiegungskugel.
Bei 54° Breite wären 6384.727 km der Schmiegungskugel-Radius.

Jetzt das schwierigere.
Breiten- und Längengrade sind nicht rechtwinklig zueinander. Nur am Äquator sind sie das genähert.
Sie sind nicht isotherm *hüstel*.
Das Rechtwinklige unterstellst Du aber bei Deinen Überlegungen.

Vielleicht folgendes Beispiel: Das 1°x1°-Quadrat bei Bremen.

Wenn es so gut wie rechtwinklig wäre, müssten ja Ober- und Unterseiten fast gleich sein.
Ein Längengrad am oberen Rand ist 65,451 km lang,
ein Längengrad am unteren Rand aber 67,013 km.
Du hast es also eher mit Trapezen zu tun als mit rechtwinkligen Quadraten oder Dreiecken.
Da versagt dann die Trigonometrie (wenn Du Rechtwinkligkeit unterstellst).

In Memoriam Prof. Heinrich Heesch
http://de.wikipedia.org/wiki/Heinrich_Heesch
der sich ziemlich aber vergeblich bemühte, mir Differentialgeometrie beizubringen.

Mach weiter
Roland

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#11

Hallo Roland,

dass Dein Prof sich vergeblich bemühte, glaube ich gern, wenn ich bei Dir lese, Längen- und Breitengrade einer Kugel seien nicht rechtwinklig zueinander. Sie sind es nämlich doch!

Betrachte dazu die Parametrisierung
f(\phi,\theta)=\left(\begin{array}{c} \cos(\theta)\cos(\phi) \cr \cos(\theta)\sin(\phi) \cr \sin(\theta) \end{array}\right).
Die Längengrade haben konstante Winkel φ, die Breitengrade konstante θ. Nun rechne die entsprechenden Tangentenvektoren
\frac{\partial f}{\partial\phi}(\phi_0,\theta_0), ; \frac{\partial f}{\partial\theta}(\phi_0,\theta_0)
aus und bestimme den Winkel. Und? Na? Rechtwinklig!

Das Argument, wenn die Winkel alle recht wären, wäre das Viereck ein Rechteck und damit gleichseitig, funktioniert in der sphärischen Geometrie nicht. Egal, wie Du „Rechteck“ definierst – ein all-rechtwinkliges sphärisches Viereck hat i.Allg. unterschiedlich lange Seiten, während ein gleichseitiges sphärisches Viereck i.Allg. keine rechten Winkel besitzt (aber das gilt ja im Euklidischen auch nicht).
Außerdem bildet ein Breitengrad ja keine Geodätische, wenn ich also den Abstand zweier Punkte kenne, ist dieser (fast) immer kleiner als das entsprechende Breitengradsegment. (Ausnahme: Punkte auf dem Äquator.) Dementsprechend wäre die Länge der Breitengradsegmente ohnehin ein fadenscheiniges Argument für oder gegen Rechtwinkligkeit.
Eh Du Dir dazu Beispiele überlegst, kannst Du z.B. sehr schön sehen, dass es Dreiecke gibt, die ausschließlich rechte Winkel besitzen, was m.E. ebenso kontraintuitiv ist. Betrachte z.B. das Dreieck (0°N 0°O, 0°N 90°O, Nordpol).

Liebe Grüße
Immo

Stehen Längen- u Breitengrade im rechten Winkel ?
#12

Hallo,

ich wusste dass ich mich aufs Glatteis begebe. Ich hab’ Deine Vika gelesen, also Augen zu und durch &gt:wink:

In meiner (zugegebenermaßen intelektuellen) Not greife ich nach diesem Strohhalm

http://deposit.ddb.de/cgi-bin/dokserv?idn=975909789&…

Gielsdorf sagt auf S. 37 (PDF S. 40) genau das, was mein Artikel und mein Bauch auch sagt. Also halte ich an meinen Beispielen fest, da sie m.E. für den Anfang brauchbar sind.

Dunkel erinnere ich mich, dass man durch veränderte Parameterdarstellung Eigenschaften ändern kann. Die Parameterdarstellung Deiner Formel zeigt Rechtwinkligkeit - bei kartesischer Darstellung.
Soll ich Differentialgeometrie wieder hervorkramen ? Diese mag viele schöne Erkenntnisse bringen, aber für mich ist im Berufsalltag eine Fläche keine ‚zweidimensionale Mannigfaltigkeit‘ … sosehr Du das bedauern magst.

Ich will versuchen, wenigstens isometrisch und rechtwinklig auseinanderzuhalten.

Grüße Roland