längste Zahlenreihe gesucht

Freizeit & Hobby Rätsel
#1

Hallo,

heute mal wieder ein Rätsel.

Ihr habt alle natürlichen Zahlen von 1 bis 50 (inklusive) zur Verfügung.
Bildet nun aus diesen Zahlen eine möglichst lange Zahlenreihe.
Wobei folgendes gilt:
Jede Zahl muß entweder die Summe oder die Differenz der beiden Nachbarzahlen sein. (mit Ausnahme der ersten und der letzten Zahl der Reihe)
Jede Zahl darf aber nur ein mal vorkommen!

Wie lang ist die längste mögliche Reihe, und wie sieht sie aus?

Beispiel:

25 
 5 (25-20)
20 (15+ 5)
15 (35-20)
35 (50-15)
50
#2

Spoiler
Hallo,

interessantes Rätsel!

Wie lang ist die längste mögliche Reihe, und wie sieht sie
aus?

Die längste Reihe hat 13 Elemente und sieht von der Mitte aus gesehen sehr „fibonacciig“ aus:

41 25 16 9 7 2 5 3 8 11 19 30 49

Andreas

#3

falsch

interessantes Rätsel!

Nicht wahr?

Die längste Reihe hat 13 Elemente und sieht von der Mitte aus
gesehen sehr „fibonacciig“ aus:

41 25 16 9 7 2 5 3 8 11 19 30 49

Nein, ist zwar schon recht gut, aber sie ist nicht die längste Reihe.
Das mit dem „fibonacciig“ ist mir auch aufgefallen, das ist bei allen Reihen so. Aber das liegt am Bildungsgesetz, das ist nämlich gleich, wenn man in Folge nur Summe oder Differnz nimmt.

#4

Hi,

Nein, ist zwar schon recht gut, aber sie ist nicht die längste
Reihe.

hui, dann bin ich wirklich gespannt auf die längere Reihe. Deine Bedingungen habe ich gerade noch einmal gelesen, und mir fällt nicht ein, was ich übersehen haben könnte.

Andreas

#5

Tips
Schau mal, wie oft man + und - in einer Reihe wechseln kann.

Und betrachte mal die erste und die letzte Zahl der Reihen bezüglich auf deren Länge.

#6

Hallo,

Schau mal, wie oft man + und - in einer Reihe wechseln kann.

ok, eine Summe (+) kann maximal einmal vorkommen. Rechts und links davon müssen Differenzen (-) stehen. Sobald einmal eine Differenz vorgekommen ist, müssen zwingend weitere Differenzen folgen (die Zahlen werden in dieser Richtung immer größer); sonst würden sich Zahlen wiederholen. Die möglichen Reihen haben also folgende Struktur:

\* - - ... - - + - - ... - - \*
groß groß

Als Randfälle gehen auch

\* + - - ... - - \*
\* - - ... - - \*

Die beiden „-“-Enden wachsen nach außen ähnlich wie eine Fibonacci-Folge, also grob exponentiell.

Und betrachte mal die erste und die letzte Zahl der Reihen
bezüglich auf deren Länge.

Die längsten Reihen dürften als erste und letzte Zahl möglichst hohe Zahlen haben, damit in der Mitte genügend „Luft“ für das Absteigen ist.

Andreas

#7

Als Randfälle gehen auch

* + - - … - - *
* - - … - - *

Richtig, wobei die Randfälle immer recht kurz ausfallen, oder man kann an dem Ende, wo die kleinere Zahl ist, durch Addition noch was anhängen.

Die beiden „-“-Enden wachsen nach außen ähnlich wie eine
Fibonacci-Folge, also grob exponentiell.

Nicht nur ähnlich , sondern genau nach dem gleichen Prinzip! (die beiden letzten Zahlen addiert ergeben die nächste)
Jetzt betrachte mal die Fibonaccireihe (die ja mit den kleinst möglichen Zahlen 1 und 2 anfängt) und überlege wie lang maximal ein größerwerdender Strang sein kann (damit er unter 50 bleibt). Da zwei Stränge eine Reihe bilden, weißt Du schon wie lang die Reihe höchstens sein kann.
[Deine Reihe hat einen Strang mit 7 und einen mit 6 Zahlen)

Und betrachte mal die erste und die letzte Zahl der Reihen
bezüglich auf deren Länge.

Die längsten Reihen dürften als erste und letzte Zahl
möglichst hohe Zahlen haben, damit in der Mitte genügend
„Luft“ für das Absteigen ist.

Genau, wenn man aber mit 50 beginnt, kommt man nicht soweit wie Du mit 49!
Frage wäre, wie klein darf eine Randzahl sein um noch ein Maximum rauszuholen? (es sei nochmals auf die längste Fibonaccireihe hingewiesen)

#8

Hi,

Die beiden „-“-Enden wachsen nach außen ähnlich wie eine
Fibonacci-Folge, also grob exponentiell.

Nicht nur ähnlich , sondern genau nach dem
gleichen Prinzip! (die beiden letzten Zahlen addiert ergeben
die nächste)

richtig; ich sprach von „ähnlich“, weil eine Folge mit 0 und 1 (oder 1 und 1, je nach Definition) beginnen muss, um wirklich den Namen Fibonaccis zu tragen.

Jetzt betrachte mal die Fibonaccireihe (die ja mit den kleinst
möglichen Zahlen 1 und 2 anfängt) und überlege wie lang
maximal ein größerwerdender Strang sein kann (damit er unter
50 bleibt).

Maximal 9 Elemente (erzeugt aus den Anfangsgliedern 2 und 1, hoch bis zur 47).

Da zwei Stränge eine Reihe bilden, weißt Du schon
wie lang die Reihe höchstens sein kann.

Als obere Schranke, ja. Zusätzlich ist beim Zusammensetzen zweier Folgen ja noch zu beachten, dass keine Zahl doppelt vorkommt und die Zahl in der Mitte gemeinsam benutzt wird. Deswegen ist die längste Reihe kürzer als 17 Elemente.

Alles in allem ist mir unklar, worauf du hinauswillst. (Ich hoffe nicht, dass deine Einwände dem heutigen Datum geschuldet sind. :wink:)

Viele Grüße,

Andreas

#9

Hallo

Maximal 9 Elemente (erzeugt aus den Anfangsgliedern 2 und 1,
hoch bis zur 47).

??
Ich glaube Du willst mich in den April schicken.
Ich komme auf max 8 Elemente bis zur 34!
1,2,3,5,8,13,21,34
(ich meinte mit Strang eine Folge immer größer werdenden Zahlen)

Als obere Schranke, ja. Zusätzlich ist beim Zusammensetzen
zweier Folgen ja noch zu beachten, dass keine Zahl doppelt
vorkommt und die Zahl in der Mitte gemeinsam benutzt wird.
Deswegen ist die längste Reihe kürzer als 17 Elemente.

Du hast zwar das gleiche Ergebnis, aber sobald man zwei Stränge zuammenbringt (2 * 8) braucht es noch ein Element, welches als Summe der kleinsten Elemente der Stränge diese verbindet.

Entscheidend ist aber die kleine Randzahl 34.

Alles in allem ist mir unklar, worauf du hinauswillst.

Beide Randzahlen sollten nach den Überlegungen also zwischen 34 und 50 liegen.
Es lohnt sich also diese durchzugehen. So viele sind es nicht. Du wirst sicherlich fündig.

#10

Hi,

1,2,3,5,8,13,21,34
(ich meinte mit Strang eine Folge immer größer werdenden
Zahlen)

ok, dann hatten wir unterschiedliche Vorstellungen. Bezüglich der ersten zwei Elemente habe ich keine Einschränkungen gemacht; meine 9er-Folge war:

2 1 3 4 7 11 18 29 47

Es lohnt sich also diese durchzugehen. So viele sind es nicht.

Das hatte ich schon bei meiner ersten Antwort gemacht. Längere Kombinationen als 13 Elemente habe ich nicht gefunden.

Wie sagt man so schön beim Poker: Ich will sehen. :wink:

Andreas

#11

halber Spoiler
Also es sind 14

Die Randzahlen sind 44 und 45.

Vielleicht will jemand den Rest noch selber erraten.

:smile:

#12

Also es sind 14

Die Randzahlen sind 44 und 45.

Dann tippe ich, dass bei der Auflösung die Zahl 17 eine größere Rolle spielen wird.

Andreas

#13

Dann tippe ich, dass bei der Auflösung die Zahl 17 eine
größere Rolle spielen wird.

Andreas

Ach du jeh, ganz rot werd und klein.
Du hast ja soo recht. Ich hätte die Brille besser aufziehen sollen.
Gott sei Dank kann ich es vielleicht noch als Aprilscherz gelten lassen.

Komisch, daß sich immer weniger Leute für solche Rätsel interessieren.
Vor einem Jahr noch diskutierten bei dieser Art von Rätseln noch richtig viele mit.
Danke, daß wenigstens Du noch Spaß an der Sache fandest.
Diese Schmäh hat mich dazu bewegt noch mal eine Methode zu finden um die Sache effektiver zu testen. Nun habe ich mir eine Excelltabelle gemacht, wo ich in der Mitte anfange und möglichst kleine Zahlen eingebe. Und zwar nur die beiden Anfangszahlen eines Stranges
Beispiel für die Lösung:
41
25
16
9
7
2
5
3
8
11
19
30
49
Die Mittlere Zahl errechnet sich aus der Summe der beiden Nachbarn und der Rest aus den Summe der beiden Vorgängern von der Mitte aus gesehen.
Man brauch also nur zwei Zahlen eingeben und die Reihe errechnet sich von selbst. Man muß halt nur die Brille auf setzen und schauen, daß keine Zahlen doppelt vorkommen.
Äh, tja ich glaube, daß ich die !7 übersah, weil ich so weit außerhalb keine doppelte mehr erwartete.
Gruß,
Radiolaria