Lagrange Funktion - Lambda eliminieren

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo,
leider verzweifle ich momentan an der Lösung eines LGS von einer Lagrangefunktion.
Kostenfunktion: K(X,y)= x²+2y²-xy
Minimale Kosten bei einer Gesamtmenge von 8 Einheiten sind zu berechnen. Also lautet die Nebenbedingung doch g(x)= x+y=8, oder?

Soweit.
Da ich noch nicht herausgefunden habe wie LAMDA als Zeichen geht, nenne ich es L.
Meine Lagrangefkt. sollte dann lauten:
L= x²+2y²-xy - L*(8-x-y)
Meine partiellen Ableitungen:
Lx= 2x-y-L=0
Ly= 4y-x-L=0
Ll= x+y=8
Ich hoffe das stimmt bis hierhin?

Jetzt stehe ich nämlich vor dem Problem, dass ich nicht weiß, wie ich das LGS lösen soll…

I. 2x-y-L=0
II. -x+4y-L=0
III. x+y=8

wenn ich I und II addiere komme ich auf x+3y=0
Nun weiß ich aber nicht wie ich hier weiterverfahren soll. Ist das LGS so überhaupt richtig nach Lambda aufgelöst?
Kann mir hier einer weiterhelfen?

Vielen Dank im Voraus,

#2

Hallo,

Hallo

Kostenfunktion: K(X,y)= x²+2y²-xy
Minimale Kosten bei einer Gesamtmenge von 8 Einheiten sind zu
berechnen. Also lautet die Nebenbedingung doch g(x)= x+y=8,
oder?

Soweit.
Da ich noch nicht herausgefunden habe wie LAMDA als Zeichen
geht, nenne ich es L.
Meine Lagrangefkt. sollte dann lauten:
L= x²+2y²-xy - L*(8-x-y)

Da du das große L schon für die Lagrangefunktion benutzt, würde ich für Lambda eher ein kleines l verwenden.
Ansonsten sieht bis hier aber alles richtig aus.

Meine partiellen Ableitungen:
Lx= 2x-y-L=0
Ly= 4y-x-L=0
Ll= x+y=8

Hier stecken ein paar Fehler drin. Die partiellen Ableitungen sind
Lx=2x-y+l
Ly=4y-x+l
Ll=x+y-8

Dein LGS ist also

I. 2x-y+l=0
II. 4y-x+l=0
III. x+y-8=0

Wenn du I. und II. subtrahierst, kannst du l rausschmeißen. Mit III. kannst du dann noch x oder y eliminieren und dann nacheinander einsetzen um auch die anderen Variablen zu erhalten.

Viel Erfolg!

hendrik