ich hab 2 fragen zur laplace transformation, dabei geht es um die bedingungen.
es gibt 3 bedingungen (bzw voraussetzungen) damit eine laplace transformation existiert.
1; f(t) ist auf [0,unendlich) definiert und stückweise stetig.
2; f(t) wird auf (-unendlich,0) mit f(t) identisch Null fortgesetzt
3; f(t) wächst höchstens exponentiell. dh es gibt reele zahlen a und M so dass auf [0,unendlich) gilt: |f(t)|
Hallo Anna.
3; f(t) wächst höchstens exponentiell. dh es gibt reele zahlen
a und M so dass auf [0,unendlich) gilt: |f(t)|
\begin{eqnarray}
F§ & = & \int_0^{\infty} \mathrm{d}t ; f(t) \mathrm{e}^{-pt} \
& \leq & \int_0^{\infty} \mathrm{d}t ; \left| f(t) \mathrm{e}^{-pt} \right| \
& = & \int_0^{\infty} \mathrm{d}t ; |f(t)| \mathrm{e}^{-pt} \
& \leq & \int_0^{\infty} \mathrm{d}t ; M\mathrm{e}^{at} \mathrm{e}^{-pt} \
& = & M \int_0^{\infty} \mathrm{d}t ; \mathrm{e}^{(a-p)t}
\end{eqnarray}
Dieses Integral konvergiert offensichtlich für p>a gegen den endlichen Wert
M/(p-a). Somit ist die Existenz der Laplacetransformierten nachgewiesen. Sie existiert mindestens auf (a;unendlich).
Für die zweite Frage überlegen wir, dass zu jeder Wahl von M und a die Funktion f die Abschätzung übersteigt. Und schon das Laplaceintegral über die exponentielle Abschätzung konvergiert nur im Bereich p>a. Wenn aber jedes a zu klein ist, so konvergiert das Integral überhaupt nirgends.
Viel Erfolg in der Prüfung!
The Nameless
vielen dank!!
das hat mir sehr weitergeholfen.