Laplace-Transformation / Zeitverschiebungsgesetz

Wissenschaft Mathematik
#1

Liebe/-r Experte/-in,

Ich stelle mir die Frage wie ich f(t)=5(t-1) laplace-transformieren kann mit Hilfe des Zeitverschiebungssatzes.

Der Satz lautet ja: L[f(t-t0)]=F(s)\cdot{}e^{-s\cdot{}t0}

Naja was ist den nun von der Funktion das F(s)?

Ohne den Zeitverschiebungssatz, kann ich das auch lösen:

F(s)=5(\frac{1}{s^2}-\frac{1}{s})

Aber wie gehts mit dem Satz?

In der Schule haben wir das komisch gemacht:

t -> 1/s^2

t-1 -> \frac{1}{s^2} \cdot e^{-s}

t0=1

Genau so und ich möchte jetzt wissen warum und wo ist die 5 hin?
Ich verstehe das überhaupt nicht.

mfg

MrAnonym

#2

Hallo MrAnonym,

analog zur Fourier-Transformation bezeichnet F(s) in diesem Satz die Laplace-Transformierte der Funktion f.

Dabei dachte ich eigentlich, dass es heißt
F(s)= \mathcal{L} \left{f\right}(s) =\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t),\mathrm{d}t

mit der Rücktransformation
f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left{F(s)\right} = \frac{1}{2 \pi i} \int_{ \gamma - i \infty}^{ \gamma + i \infty} e^{st} F(s),\mathrm{d}s

mit freundlichen Grüßen
Julian

#3

Hallo, also wenn man die Zeit t um den Faktor t0 verschiebt, ändert das die Laplace-Transformierte einfach um einen Faktor e^(s t0) . Kannst du leicht mit der Substitutionsregel für Integrale beweisen.

Die 5 bleibt natürlich trotzdem, die hat der Lehrer wohl einfach vergessen. :wink:

Ich habe keine Ahnung, warum man in der Schule das einführen muss, wahrscheinlich bei el. Strömen?
Dass nun zwei verschiedene Ergebnisse rauskommen (auch wenn man die 5 dazupackt) liegt daran dass einmal der Strom bei t=0 und einmal bei t=1 eingeschaltet wird.

Gruß
Granini

#4

Hi

Ohne den Zeitverschiebungssatz, kann ich das auch lösen:

F(s)=5(\frac{1}{s^2}-\frac{1}{s})

Wo kommt denn das -\frac{1}{s}) her?

In der Schule haben wir das komisch gemacht:

wieso „komisch“ ??

t -> 1/s^2

Das is die L-transformation von t (genauer von t u(t) wo u(t) die Stufenfunktion ist)

t-1 -> \frac{1}{s^2} \cdot e^{-s}

Das ist der Verschiebungssatz; genauer fehlt auch hier ein u(t-1) = u(t-t0)

t0=1

Genau so und ich möchte jetzt wissen warum und wo ist die 5
hin?

Im urspruenglichen Beispiel, 5 (t-1) muss man tatsaechlich nochmal mit 5 multiplizieren (wegen der Linearitaet des Integrals ist das genug)

Gruesse
C

#5

leider kann ich da nicht helfen

#6

Sorry, eigentlich habe ich mich abgemeldet bzw. alle Fachgebiete gelöscht, da ich einfach keine Zeit mehr habe, Anfragen zu beantworten.
Bitte stelle die Frage nochmals an andere Experten,
danke,
Manuela

#7

Hallo Mr Anonym,
dazu kann ich leider nichts beitragen. Mit solchen Sachen habe ich mich zuletzt vor ca. 40 Jahren beschäftigt.
Tut mir Leid.
Gruß, Anno Nüm

#8

Hallo MrAnonym,
in Deinem „Schulweg“ ist ein kleiner Fehler:

t o-> 1/s^2
t-1 0-> 1/s^2-1/s

Da die Transformation linear ist, gilt L(5 f(t))=5 L(f(t)).
Reicht das als Erklärung?

Gruß

Barry1

#9

Um das Problem nachzuvollziehen, brauche ich die vollsrändige Aufgabenstellung.

#10

Ich möchte mich ganz bewusst auf deine Frage beschränkem; Integrieren ist ein ===> linearr Prozess. Wenn f ( t ) die Transformierte F ( s ) hat, dann hat k f ( t ) Transformierte k F ( s ) - auch bei k = 5.
Es gibt so Tabellen; wenn du mit der Urfunktion f ( t ) irgendwas machst. Wie wirkt sich das dann auf die Bildfunktion aus?
Konnte ich dir damit behilflich sein; beantwortet das deine Frage?

#11

Um das Problem nachzuvollziehen, brauche ich die vollsrändige
Aufgabenstellung.

Das war die ganze. Man soll die Funktion f(t) in eine Laplace-Funktion umwandeln.

Also einfach von Zeitbereich in Laplace bereich.

Also von f(t) in F(s) umwandeln.

#12

Hi

Ohne den Zeitverschiebungssatz, kann ich das auch lösen:

F(s)=5(\frac{1}{s^2}-\frac{1}{s})

Wo kommt denn das -\frac{1}{s}) her?

Ja vom „1er“ --> 5(t-1) das t wird zu 1/s^2 und das 1 zu 1/s laut Laplace-Tabelle

In der Schule haben wir das komisch gemacht:

wieso „komisch“ ??

t -> 1/s^2

Das is die L-transformation von t (genauer von t u(t) wo u(t)
die Stufenfunktion ist)

t*u(t) --> Warum das denn? Jetzt bin völlig verwirrt^^.

t-1 -> \frac{1}{s^2} \cdot e^{-s}

Das ist der Verschiebungssatz; genauer fehlt auch hier ein
u(t-1) = u(t-t0)

Warum bitte, was soll das aussagen jetzt?

t0=1

Genau so und ich möchte jetzt wissen warum und wo ist die 5
hin?

Im urspruenglichen Beispiel, 5 (t-1) muss man tatsaechlich
nochmal mit 5 multiplizieren (wegen der Linearitaet des
Integrals ist das genug)

Mh kannst du mir vielleicht einfach in Rechenschritten erklären wie ich von f(t)=5(t-1) auf F(s) komme, also mit hilfe des Zeitverschiebungssatzes bitte?

Danke :smile:

#13

Hallo MrAnonym,

analog zur Fourier-Transformation bezeichnet F(s) in diesem
Satz die Laplace-Transformierte der Funktion f.

Dabei dachte ich eigentlich, dass es heißt
F(s)= \mathcal{L} \left{f\right}(s) =\int_{0}^{\infty}
e^{-st} f(t),\mathrm{d}t

mit der Rücktransformation
f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left{F(s)\right} = \frac{1}{2 \pi
i} \int_{ \gamma - i \infty}^{ \gamma + i \infty} e^{st}
F(s),\mathrm{d}s

Ja, stimmt schon, aber wir müssen es nur mit der Laplace-Tabelle rechne, also nichts mit integral und so.

Einfach Laplace-Tabelle schaun und dann siehts mans eh.

Kannst du mir vielleicht einfach in Rechenschritten erklären wie ich von f(t)=5(t-1) auf F(s) komme, also mit hilfe des Zeitverschiebungssatzes bitte?

Danke :smile:

#14

Hallo, also wenn man die Zeit t um den Faktor t0 verschiebt,
ändert das die Laplace-Transformierte einfach um einen Faktor
e^(s t0) . Kannst du leicht mit der Substitutionsregel für
Integrale beweisen.

Ja, das mit den Integralen müssen wir noch nicht, wir brauche nur in die Tabelle gucken dafür und ablesen.

Kannst du mir vielleicht einfach in Rechenschritten erklären wie ich von f(t)=5(t-1) auf F(s) komme, also mit hilfe des Zeitverschiebungssatzes bitte?

Danke :smile:

#15

Ah, ich habe gesehen, dass du deinen ersten Beitrag noch ergänzt hast… oder ich habe es einfach beim ersten Mal übersehen.

Nun, ich fürchte da nicht sonderlich viel Erfahrung zu haben. Wenn ich die Regeln für Laplace und Zeitverschiebung aber richtig deute, leuchtet mir dein „Schulweg“ nicht ein.
Aufgrund der Linarität sollte der Vorfaktor erhalten bleiben.
Außerdem gilt ja G(w)=e^(-j*t_0*w)F(w), also dachte ich, dass die Zeitverschiebung bedeutet, dass du zunächst g(t)=5t Laplace-Transformierst, welches dann dein F(w) ergibgt. Danach bewirkt der Zeitverschiebungssatz eine Multiplikation mit e^(-5w) (-(t_0=5)w).

Wobei ich gerade bemerke, dass dein Schulweg evtl auch nur ein eigenständiges Beispiel zum Lösen ist.
die Laplace-Transoformierte von f(t) ist F(s)=1/(s^2)
Dies bedeutet für die Zeitverschobene Funktion f(t-1) dann 1/(s^2) * e^(-1*s).

Zumindest habe ich das jetzt in dieser Form verstanden.^^

#16

Hi

Das Problem ist moeglicherweise schlecht gestellt.

Die explizit berechnete Loesung ist die Laplace-Transformierte

Weil der Verschiebungssatz benutzt werden sollte, habe ich angenommen, dass die Loesung fuer 5(t-1) aus der fuer t berechnet werden soll.

V on der Funktion t ware nur der positive Teil relevant (weil die L-trafo von 0 bs unendlich geht; deshalb habe ich in der vorherigen Nachricht auf die Stufenfunktion verwiesen). Verschoben um 1 muss dass so bleiben andernfalls bekommt man keine verschobene, sondern eine andere Funktion (die zwischen 0 und 1 negativ ist). Die L-Trafo von dieser Funktion ist die explizit berechnete. Die L-Trafo von 5t verschoben um 1 ist anders, weil die Funktion Null im Intervall [0,1] zu sein hat.

I hope that helps

Best
C

#17

http://www.felidays.de/lp.htm

Die Laplace-Transformation und deren Inversion sind Verfahren zur Lösung von Problemstellungen der mathematischen Physik und der theoretischen Elektrotechnik, welche mathematisch durch lineare Anfangs- und Randwertprobleme beschrieben werden. Die Laplace-Transformation gehört zur Klasse der Funktionaltransformationen, spezieller zu den Integraltransformationen, und ist eng verwandt mit der Fourier-Transformation. Die Motivation, die Fourier-Transformation weiter zur Laplace-Transformation zu entwickeln, liegt in der beschränkten Klasse von Funktionen, für welche im Rahmen der Fourier-Transformation das Fourier-Integral existiert.

wikiprdia

#18

Vielleiht war das ja so gemeint:

Beispiel:

zu f(t) = t lautet L(s) = 1/s^2
zu f(t) = t-1 folgt L(s) = 1/s^2*e^-s

also:

zu f(t) = 5t lautet L(s) = 5/s^2
zu f(t) = 5(t-1) folgt L(s) = 5/s^2*e^-s

mfrG