Leistung: P = m mal a mal v ?

Wissenschaft Physik
#1

Aus den Formeln F=m*a, P=E/t sowie E=F*s kann ich mir die Formel P=m*a*v herleiten:

  1. P=(F*s)/t
  2. P=(m*a*s)/t

Da v=s/t:

  1. P=m*a*v (bzw. P=0,5*m*a*v bei konstant beschleunigten Bewegungen)

Es wundert mich, weshalb hier noch eine Geschwindigkeit mit in diese Beziehung hineinkorreliert. Denn nach meinem physikalischem Verständnis dürfte es doch egal sein - und ich möchte hier jegliche von der Geschwindigkeit abhängigen Widerstände vernachlässigen - welche Grundgeschwindigkeit mein Auto hat; die zur gleichen Beschleunigung benötigte Leistung müsste doch immer gleich bleiben.

Gibt es einen Fehler in der Herleitung?
Welchen (Denk-)Fehler mache ich hier?

Schon einmal vielen Dank im Voraus!

#2

Hallo,
mir gefällt Ihr Problem, da man daraus einiges lernen kann.

Ich arbeite gerade an einer Antwort. Bis gleich.

#3

Das passt schon: die Bewegungsenergie ist mit E_kin = 0,5*m*v^2 spezifiziert. Wenn du das in P=E/t einsetzt landest du da wo du warst.
Das erklärt (u.a) auch warum kein Auto von 100 auf 200 genauso schnell beschleunigt wie von 0 auf 100. Die Geschwindigkeit geht nun mal quadratisch in die Bewegungsenergie ein.

#4

Sie haben einige Fehler gemacht. Zunächst werde ich daher ein paar Formalia klären. Anschließend
gehe ich auf Ihr durchaus legitim verwunderliches Ergebnis ein.

Um den Gedankengang klar zu stellen: Mit F=m*a berechnen Sie nur die beschleunigende Kraft, nicht irgendeine Reibungskraft. Das bedeutet, Ihre Überlegung beinhaltet überhaupt keine Reibungskräfte, egal welcher Natur.

Solange die Bewegung nicht beschleunigt ist (a=0) - und nur dann - legen Sie zu gleichen Zeiten gleiche Strecken zurück, d. h. es gilt v=s/t bzw. s=v*t. In diesem Fall ist die beschleunigende Kraft F=m*a=m*0=0 und damit
auch die für die Beschleunigung erforderliche (Motor-)leistung Null. Das klingt noch einleuchtend.

Reden wir also vom nächsteinfachen Fall: Der beschleunigten Bewegung mit konstanter Beschleunigung.
Sie werden also immer schneller, d. h. sie legen zu gleichen Zeiten jeweils eine immer längere Strecke zurück. Wenn Sie so 1 km mit dem Auto fahren und die Gesamtzeit stoppen, kommt sicherlich mittels s/t irgendeine Durchschnittsgeschwindigkeit heraus, aber bestimmt nicht die Anzeige Ihres Tachos (Momentangeschwindigkeit). Dafür müssten Sie die Zeiten für viel kürzere Wege, z. B. einen Abschnitt von 10m, besser noch 1 m oder gar 1 mm messen. Genauer ist die (Momentan-)Geschwindigkeit nämlich die ÄNDERUNG des Ortes betrachtet über SEHR KURZE Zeitabschnitte (Mathematik: erste Ableitung nach der Zeit). Wenn man das alles ordentlich mathematisch „durchzieht“, kommt man zu dem bekannten Zusammenhang s=1/2*a*t^2. Verglichen mit der Formel bei einer konstanten Geschwindigkeit (oben) kommt plötzlich ein Quadrat ins Spiel und niemand scheint sich darüber zu wundern.

Genauso ist die Leistung die ÄNDERUNG der (mechanischen) Energie (genannt Arbeit) bei SEHR KURZEN Zeiten, d. h. P=E/t gilt NUR IN SPEZIALFÄLLEN, allgemein ist die Leistung wieder die erste Ableitung der momentan verrichteten Arbeit nach der Zeit. Ähnliches muss man über E=F*s aussagen. Ihre Überlegungen sind also an vielen Stellen nicht „sauber“. Leider hilft trotzdem alles nichts:

Beschleunigungsarbeit zwischen t0 und t: W=1/2*m*v(t)^2-1/2*m*v(t0)²
P(t0)=d/dt W(t) (bei t=t0)
[…]
P = m*a*v (bei konstanter Beschleunigung aus dem Stand, also v=a*t)
Es bleibt festzustellen: Die zur Beschleunigung benötigte Leistung ist geschwindigkeitsabhängig.

Ein Erklärungsversuch.
Verwechseln Sie nicht die „Wucht“ eines Körpers, also seinen Impuls p=m*v mit der kinetischen ENERGIE eines Körpers. Eine häufig getroffene, aber falsche Annahme ist: „Um ein Auto auf die doppelte Geschwindigkeit zu bringen, brauche ich doppelt so viel Energie.“ Das ist falsch. Betrachten Sie einmal zwei Autos A und B. Beide sollen identisch sein, bis auf die Tatsache, dass B gerade doppelt so schnell fährt wie A. Es stimmt: B hat die doppelte „Wucht“ bzw. dessen Impuls ist doppelt so groß.
Nun bremsen wir beide Autos mit der gleichen, konstanten Kraft ab, bis beide Autos zum Stehen kommen. Da B zunächst doppelt so schnell ist, legt es in gleichen Zeitintervallen (z. B. pro Sekunde) jeweils den doppelten Weg zurück. Da aber auch der Bremsvorgang doppelt so lang dauert, braucht man insgesamt den vierfachen Weg, um das Auto abzubremsen. Genauer ergibt das s=1/2mv². Sie müssen die Bremskraft also übe die vierfache Strecke hinweg anwenden, also müssen Sie nach „E“=F*s die vierfache Bewegungsenergie über die Bremsen „verbraten“. Anders herum muss man die Energie wieder hineinstecken: Ein Auto mit der doppelten Geschwindigkeit hat die vierfache Bewegungsnergie: E=1/2*m*v^2
Nochmal in anderen Worten:
Wenn Sie einen Ball mit der doppelten Geschwindigkeit nach oben werfen, wird der Ball viermal so hoch fliegen.

Bringen wir die Leistung P ins Spiel:
Wenn Sie ein normales Auto auf 80 km/h beschleunigen wollen, schaffen Sie das bei extrem guter Übersetzung in ca. 2 Sekunden. Ich glaube nicht, dass Sie nach 4 Sekunden 160 km/h fahren können. Außer Sie haben einen Formel-1-Wagen.
Leistung ist Arbeit pro Zeit: „P=E/t“. Wenn Sie dieselbe Arbeit in weniger Zeit verrichten, leisten Sie mehr. Wenn Sie immer dasselbe leisten, können Sie pro Stunde auch nur eine feste „Menge an“ Arbeit verrichten. Und wenn ein Auto 150 PS, d. h. 110 kW leisten kann, dann kann es dem Auto pro Sekunde 110 kJ an (Bewegungs-) Energie zuführen. d. h. in 2 Sekunden (80 km/h) sind das 220 kJ. Um auf 160 km/h zu kommen, brauchen wir nch den obigen Überlegungen die vierfache Energie, d. h. 880 kJ. Es fehlen also 660 kJ. Das dauert nicht weitere zwei, sondern weitere 6 Sekunden, also insgesamt 8 Sekunden!
Zusammenfassung bis hierher: Sie wollen auf die doppelte Geschwindigkeit beschleunigen. Natürlich brauchen Sie dafür länger. Weil Sie länger brauchen und gleichzeitig immer schneller fahren, legen Sie dabei in etwa den vierfachen Weg zurück. Nach Arbeit(„Energie“)=Kraft*Weg müssen Sie dem Auto die vierfache Energie zuführen. Das bedeutet wiederum, dass Sie bei gleichbleibender Leistung („Gas gedrückt halten“) nur 2 Sekunden auf 80 km/h, aber 8 Sekunden auf 160 km/h brauchen.

Zurück zum Ausgangsbeispiel. Hier geht es um eine Bewegung mit konstanter BESCHLEUNIGUNG. Das bedeutet, unser Wagen B soll in 2 Sekunden auf 80 km/h und in 4 Sekunden (!) auf 160 km/h sein. Sie starten also wie gehabt im 150 PS-Auto. Ab 80 km/h müssen Sie allerdings schon stärker „aufs Gas drücken“, am besten in einem Formel-1-Auto. Sie müssen in den letzten 2 Sekunden die dreifache Energie (660 kJ) bereitstellen. Sie brauchen nach P=W/t also mehr Leistung.

Wenn Sie eine Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit realisieren wollen, müssen Sie das Gaspedal, also die Leistung, der Geschwindigkeit anpassen. In diesem Fall ist die Leistung geschwindigkeitsabhängig.

Ich glaube, die ganze Geschichte hier hat mit der Verwechslung von Impuls mit Energie sowie der verwirrenden quadratischen Geschwindigkeitsabhängigkeit der kinetischen Energie zu tun. Die Ideen für meine Erklärung und weitere Beispiele finden Sie unter

http://books.google.de/books?id=sZBmR9-LycsC&pg=PA16…

http://www.humbug.in/physics/de/why-does-kinetic-ene…

Ich hoffe, ich konnte Ihnen helfen.

#5

Hallo Jean-Baptiste!
Vielen Dank für deine Antwort!
Jetzt weiß ich auch worin mein Denkfehler lag: Ich machte allein den bei steigender Geschwindigkeit ebenfalls steigenden Luftwiderstand für die Beschleunigungsabnahme verantwortlich und vergaß die von dir genannte Beziehung.

Gruß,

Dietmar

#6

Die Formeln sowie die Herleitung sollten stimmen, aber inwiefern die Geschwindigkeit hier eine Rolle spielt, kann ich dir leider auch nicht sagen. :confused:

#7

Guten Abend quantenemitter,

vielen Dank für die sicherlich fachlexionreife Erklärung mit den anschaulichen Beispielen. Ich finde es beeindruckend wie Sie dieses physikalisch äußerst anspruchsvolle Thema für mich als Laien verständlich gemacht haben. Sie haben recht wenn Sie sagen, dass man einiges aus diesem Problem lernen kann, denn die korrekte Differenzierung zwischen Impuls und Energie oder zwischen gleichförmiger und gleichmäßig/konstant beschleunigter Bewegung z.B. ist in diesem Kontext essentiell.

Gruß,

Dietmar

#8

Hallo!

Aus den Formeln F=m*a, P=E/t sowie E=F*s kann ich mir die
Formel P=m*a*v herleiten:

  1. P=(F*s)/t
  2. P=(m*a*s)/t

Da v=s/t:

  1. P=m*a*v (bzw. P=0,5*m*a*v bei konstant beschleunigten
    Bewegungen)

Es wundert mich, weshalb hier noch eine Geschwindigkeit mit in
diese Beziehung hineinkorreliert. Denn nach meinem
physikalischem Verständnis dürfte es doch egal sein - und ich
möchte hier jegliche von der Geschwindigkeit abhängigen
Widerstände vernachlässigen - welche Grundgeschwindigkeit mein
Auto hat; die zur gleichen Beschleunigung benötigte Leistung
müsste doch immer gleich bleiben.

Gibt es einen Fehler in der Herleitung?
Welchen (Denk-)Fehler mache ich hier?

Meine erste Idee ist, daß Leistung = Arbeit/Zeit gilt.
D.h.: Höhere Geschwindigkeit heißt daß das Auto dieselbe Arbeit in kürzerer Zeit vollrichtet. Also steigt die Leistung. Daher erscheint es mir logisch, daß die Geschwindigkeit eine Rolle spielt.

Viele Grüße

Robin

#9

Hallo,

deiner Frage entnehme ich dass du wissen möchtest wie viel Energie du aufbringen musst um ein Auto von v=0 auf v=ve zu beschleunigen.
Das wäre die kinetische energie E = 1/2 m v^2

Diese Energie ist unabhängig von der Art wie du zum Endpunkt gelangst.
Die nötige Leistung hängt aber davon ab wie schnell bzw in welcher Strecke bzw bei welcher Beschleunigung du den Endpunkt erreichen möchtest.
Wenn du einen ganzen Tag Zeit hast, um auf die Endgeschwindigkeit zu gelangen, dann benötigst du deutlich weniger Leistung als wenn du es in einer Sekunde schaffen möchtest.
Das gleiche gilt für den Weg, bei E=F*s je länger du den Weg machst, um so kleiner kann deine Kraft sein, um zur gleichen Energie zu kommen, dann ist aber auch die Zeit länger.
In der Abhängigkeit die du für P von v hergeleitet hast ist v nicht die Endgeschwindigkeit sondern eine mittlere Geschwindigkeit.
Die Formel für die Geschwindigkeit in einer beschleunigten Bewegung ist v=v0+a*t und für den Weg s = v0*t + 1/2 a t^2
Wenn für v0 = 0 also F=m*a und E=F*s also E=m*a*0.5*a*t^2
E =m*0.5*(a*t)^2 = 1/2 m v^2
E ist also unabhängig von dem weg s, der Zeit t und der Beschleunigung a
die Leistung hingegen
P= E/t ist P= E/t = 1/2 m/t v^2 ist abhängig von der Zeit, falls die Beschleunigung vorgegeben ist lässt sich t=v/a einsetzen
P = 1/2 m a v (wie von dir geschrieben)
wobei v dir die Energiemenge die du benötigst vorgibt und das a die Zeitdauer bestimmt.

Aber wie gesagt um etwas über die nötige Leistung aus zusagen müsst du erst etwas über die Zeitdauer oder die zur Verfügung stehende Strecke, oder die Beschleunigung aussagen

Gruß
Thomas

#10

Hallo dietmar,
ich verstehe nicht ganz deine Frage, denn die Abhängigkeit von der Geschwindigkeit hast du doch schon selbst in deiner Gleichung 1) verwendet.
Die Leistung ist definiert als die verrichtete Arbeit Delta_W (oder die dafür aufgewendete Energie Delta_E) pro Zeit. Daraus folgt der Zusammenhang P=Delta_E/Delta_t *. Die Energie ist das Integral der Kraft F über einen Weg Delta_s. Setzt man die Energie in Gleichung * ein, so bekommt man die Ableitung des Wegs nach der Zeit, was der Geschwindigkeit v=ds/dt entspricht.

Oder: Betrachte mal nicht die Geschwindigkeit, sondern das Weg pro Zeit Verhältnis, dann sieht man ja, je schneller man die Arbeit verrichtet, desto größer ist die Leistung.

Falls dir das nicht reicht, würde ich dich bitten, die Frage anders zu vormulieren.

Gruß Bonsai1986

#11

Ich würde es mal mit den Formeln versuchen: F=m*a, P=ΔW/Δt sowie ΔW=F*Δs

  1. P=(F*Δs)/Δt
  2. P=(m*a*Δs)/Δt

v=Δs/Δt ist nicht anwendbar, weil m*a*Δs nur darstellt welche Arbeit bei welcher Kraft und welcher Wegänderung angewendet wird und das Δt macht ja nur, dass nur angezeigt wird welche Arbeit in einem Zeitabschnitt verrichtet wird.

#12

Ich würde es mal mit den Formeln versuchen: F=m*a, P=ΔW/Δt sowie ΔW=F*Δs

  1. P=(F*Δs)/Δt
  2. P=(m*a*Δs)/Δt
  3. P=m*a*v

Die Formel ist schon richtig, jedoch zeigt die Formel P=m*a*v an, welche Leistung benötigt, damit sich ein Gegenstand, dem eine Kraft F (m*a)entgegenwirkt, mit der Geschwindigkeit v bewegt.

#13
  1. P=(F*Δs)/Δt
  2. P=(m*a*Δs)/Δt
  3. P=m*a*v

Die Formel und die Herleitung ist schon richtig, jedoch zeigt die Formel P=m*a*v an, welche Leistung benötigt, damit sich ein Gegenstand, dem eine Kraft F (m*a)entgegenwirkt, mit der Geschwindigkeit v bewegt.

#14

Hallo Dietmar,

ich glaube, das Problem kommt daher, dass mit den gleichen Buchstaben etwas unterschiedliche Dinge in den Formeln gemeint sind.

Ich habe unten in Deinen Text Kommentare geschrieben.

Aus den Formeln F=m*a, P=E/t sowie E=F*s kann ich mir die
Formel P=m*a*v herleiten:

  1. P=(F*s)/t

Du könntest hier schon schreiben P = F*v. Das ist formal richtig. Man kann damit z.B. die Leistung beschreiben, die benötigt wird, um ein Gewicht F mit der Geschwindigkeit v z.B. nach oben im Schwerefeld der Erde bewegt wird. Je schneller das Gewicht angehoben werden soll, desto größer ist die Leistung, die aufgewendet werden muss. Wohlgemerkt: Die Geschwindigkeit ist konstant. Bei Raketen z.B. gilt das nicht, die beschleunigen während der gesamten Brenndauer (wobei die Beschleunigung nicht einmal konstant ist, was die Sache noch schwieriger macht)

  1. P=(m*a*s)/t

Da v=s/t:

  1. P=m*a*v (bzw. P=0,5*m*a*v bei konstant beschleunigten
    Bewegungen)

Mit F=m*a kann man die Kraft berechnen, die man aufwenden muss, um die Masse m mit a zu beschleunigen. Wird beschleunigt, ist die Geschwindigkeit nicht mehr konstant. Wenn Du also die Formel F=m*a in P=F*v einsetze, vermischst Du zwei getrennte physikalische Phänomene. Wie Du schon bemerkt hast, wird das schnell sinnlos.
Ohne Dir zu nahe treten zu wollen, aber Physik ist mehr als Buchstaben hin- und her zuschieben. Bei jedem Schritt sollte man sich vor Augen halten, was die Formeln eigentlich aussagen, sonst bekommt man schnell sinnentleerte Formeln.

Übrigens ist die Formel P=0,5*m*a*v auch formal falsch. Der Faktor 1/2 kommt durch die Integration von v= a*t über t. Dann ist s = Integral (v dt) = Integral (at dt)= 1/2 a t^2. Und ja, die Beschleunigung ist konstant, sonst wäre die Integration schwieriger.

Ich hoffe, ich habe Dich nicht frustriert, aber es ist wirklich notwendig, dass man sich bei jedem Schritt fragt, was man da tut und was die physikalische Bedeutung ist, statt mehrere Formeln zu kombinieren und am Schluss eine Interpretation zu suchen. Da steht man intellektuell im Wald und findet nicht mehr heraus.

Viele Grüße und viel Erfolg mit Physik,
Markus

Es wundert mich, weshalb hier noch eine Geschwindigkeit mit in
diese Beziehung hineinkorreliert. Denn nach meinem
physikalischem Verständnis dürfte es doch egal sein - und ich
möchte hier jegliche von der Geschwindigkeit abhängigen
Widerstände vernachlässigen - welche Grundgeschwindigkeit mein
Auto hat; die zur gleichen Beschleunigung benötigte Leistung
müsste doch immer gleich bleiben.

Gibt es einen Fehler in der Herleitung?
Welchen (Denk-)Fehler mache ich hier?

Schon einmal vielen Dank im Voraus!

#15

Hallo!

Aus den Formeln F=m*a, P=E/t sowie E=F*s kann ich mir die
Formel P=m*a*v herleiten:

Die Formel E (oder besser: Arbeit W) = F*s gilt so NUR, wenn F und s unabhaengig voneinander sind. Wenn aber eine nicht-konstante Beschleunigung a vorliegt, dann ist F (=m*a) nicht mehr unabhaengig von s und damit gilt:
W = Integral ( F ds ) (vektoriell)

Aehnlich kann man mit P=E/t (oder besser: W/t) nur arbeiten, wenn W zeitlich konstant ist, was nicht der Fall ist, wenn das System beschleunigt wird.

  1. P=(F*s)/t
  2. P=(m*a*s)/t

Da v=s/t:

Das gilt NUR, wenn a=0, d.h., v=konstant ist. Ansonsten berechnet man so nur die mittlere Geschwindigkeit.

  1. P=m*a*v (bzw. P=0,5*m*a*v bei konstant beschleunigten
    Bewegungen)

Mit den obigen Begruendungen gelten dementsprechend (ausser vielleicht in einem speziellen Fall) diese Formeln auch nicht.

Es wundert mich, weshalb hier noch eine Geschwindigkeit mit in
diese Beziehung hineinkorreliert. Denn nach meinem
physikalischem Verständnis dürfte es doch egal sein - und ich
möchte hier jegliche von der Geschwindigkeit abhängigen
Widerstände vernachlässigen - welche Grundgeschwindigkeit mein
Auto hat; die zur gleichen Beschleunigung benötigte Leistung
müsste doch immer gleich bleiben.

Gibt es einen Fehler in der Herleitung?
Welchen (Denk-)Fehler mache ich hier?

Die Leistung ist sehr wohl geschwindigkeitsabhaengig, auch, wenn man Reibung vernachlaessigt:

P*t ist die Arbeit, die an dem System verrichtet wird, d.h., die Energie, die das System erhaelt.

Wir haben hier ein Auto, das beschleunigt, damit zeige ich das Missverstaendnis an einem Beispiel:

Fall 1: das Auto der Masse 1000kg steht und beschleunigt fuer 10 Sekunden mit 10 m/s, d.h., es faehrt danach mit 100 m/s.
Schauen wir uns die Energie des Autos an:
E_vorher = 1/2 * m * v_vorher^2 = 1/2 * m * 0 = 0
E_nachher = 1/2 * m * v_nachher^2 = 1/2 * 1000 kg * (100 m/s)^2 = 5 MJ

Die Leistung, die dabei ueber 10 Sekunden aufgebracht wurde (im Mittel!) ist damit: P = (E_nachher-E_vorher)/10s = 500 kW

Fall 2: das Auto beschleunigt jetzt nach den ersten 10 Sekunden weitere 10 Sekunden mit 10 m/s, d.h, es faehrt dann am Ende mit 200 m/s.
Die Energien jetzt:
E_vorher = 5 MJ (s. E_nachher in Fall 1!)
E_nachher = 1/2 * 1000 kg * (200 m/s)^2 = 20 MJ

Die Leitung, die damit in den zweiten 10 Sekunden aufgebracht wurde (im Mittel!) ist damit: P = (20 MJ - 5 MJ)/10s = 1500 kW

Damit sieht man, dass, obwohl immer die gleiche Beschleunigung wirkte, im 2. Fall die mittlere Leistung das Dreifache gegenueber dem ersten Fall betraegt.

Das Hauptproblem bei den Ueberlegungen war, dass die angegebenen Formeln ohne Integrale und Ableitungen nur in ganz ausgewaehlten Sonderfaellen (d.h., in der Realitaet faktisch nie!) gelten.