LGS Tipps und Tricks

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo liebe Leute,

ich bin beim Lernen auf ein immer wiederkehrendes Problemgestoßen !
Solange die Anzahl der unbekannten Variablen den Anzahl der Gleichungen übereinstimmen ist das LGS lösbar. Aber dennoch kann man sich beim Lösen des LGS, das Leben einfach machen oder sehr schwer machen (je nachdem wie man es löst). In den Lösungen gehen die so schön vor, dass man z.B. am Ende sämtliche Nullstellen schon ablesen kann, während andere Personen versuchen mit Hilfe von pq_Formel die Nullstellen ausfindig zu machen, wobei man Summanden hat die eine Variable als Divisoren haben (ist bei mir passiert). Da muss es doch irgend ein Trick geben… ich weiß, dass die Erfahrung eine große Rolle spielt, aber es muss doch eben auch was anderes geben.

Ein Beispiel : I 2(x-6)+λ(-y²-3x²) =0    II 2y+2yλ(4-x)  =0  III (4-x)y²-x³ = 0

Vielen Dank

MfG R.

#2

Unklar
Hi,

mir scheint, das hier Begrifflichkeiten durcheinandergehen.

Was bezeichnest Du als „Nullstellen“ eines LGS?

Vielleicht sollte ich auch fragen, was Du unter einem LGS verstehst?
Denn dein Beispiel

[1] 2(x-6)+λ(-y²-3x²) = 0    
[2] 2y+2yλ(4-x)  = 0
[3] (4-x)y²-x³ = 0

ist mal sicher kein lineares Gleichungssystem.

Gruß,
KHK

#5

Hallo R.,

ich bin beim Lernen auf ein immer wiederkehrendes
Problemgestoßen !
Solange die Anzahl der unbekannten Variablen den Anzahl der
Gleichungen übereinstimmen ist das LGS lösbar. Aber dennoch
kann man sich beim Lösen des LGS, das Leben einfach machen
oder sehr schwer machen (je nachdem wie man es löst). In den
Lösungen gehen die so schön vor, dass man z.B. am Ende
sämtliche Nullstellen schon ablesen kann, während andere
Personen versuchen mit Hilfe von pq_Formel die Nullstellen
ausfindig zu machen, wobei man Summanden hat die eine Variable
als Divisoren haben (ist bei mir passiert). Da muss es doch
irgend ein Trick geben… ich weiß, dass die Erfahrung eine
große Rolle spielt, aber es muss doch eben auch was anderes
geben.

Ich kenne nur Üben, Üben, Üben…

Ich kenne so gemeine Aufgaben, welche zuerst nach quadratischen Gleichungen aussehen. Zerlegt man sie aber in Bi- oder Polynome, kann man plötzlich kürzen und alles ist nur noch eine lineare Gleichung.
Entsprechend braucht man für den Lösungsweg ein paar Zeilen oder ein paar Seiten.

Aber das Entdecken der Polynome ist eine Übungssache!

MfG Peter(TOO)

#3

Sie haben recht, das ist kein LGS. Aber solche Gleichungen (Anzahl Unbekannt = Anzahl Gleichung) erinnern mich an einem LGS, wahrscheinlich habe ich es daher so genannt. Es handelt sich hierbei um eine Menge. Daher habe ich dies angewendet „Lagrange-Multiplikator“ ich habe alles richtig gelöst und soll Anhand dieser 3 Gleichungen die x und die y Koordinaten von 2 Punkten ausfindig machen ( Die Koordinaten (0/0) wurden schon ausgeschlossen).

Ich entschuldige mich für die falsche Beschreibung ( habe ich erst nachdem Lernen hingeschrieben und war ziemlich erschöpft). Haben Sie vll. doch irgendein Idee ?

#4

Hallo,

Da muss es doch irgend ein Trick geben… ich weiß, dass die Erfahrung eine
große Rolle spielt,

oft hilft das genaue Hinsehen und es ergibt sich dann z.B. eine gute Lösungsmöglichkeit durch Umstellung von Gleichungen nach einer Variablen und Einsetzungsverfahren oder durch das Ausklammern von Termen und Fallunterscheidung der einzelnen Faktoren.

aber es muss doch eben auch was anderes
geben.

Ja, „Wolfram Alpha“. :wink:

Ein Beispiel : I 2(x-6)+λ(-y²-3x²) =0    II 2y+2yλ(4-x)  =0
 III (4-x)y²-x³ = 0

Wie lautet denn die entsprechende Zielfunktion und die Nebenbedingung dazu?

Gruß
Pontius

#6

Vielleicht ein paar kleine Bemerkungen.

Es ist NICHT so, dass ein LGS genau dann lösbar ist, wenn die Anzahl der Unbekannten gleich der Anzahl der Gleichungen ist. Nehmen wir z.B. das folgende LGS:
x+y=2,
x+y=3
Dieses LGS hat zwei Gleichungen, zwei Unbekannte, aber keine Lösung.
Oder wir nehmen mal dieses LGS:
x+y=2,
2x+2y=4.
Dieses LGS hat zwei Gleichungen, zwei Unbekannte, aber (in den reellen Zahlen) unendlich viele Lösungen.
Simples zählen der Gleichungen und Unbekannten reicht nicht aus für eine Aussage über die Anzahl der Lösungen.

  1. Es gibt gut erforschte Algorithmen zum Lösen von linearen Gleichungssystemen. Gauß ist die bekannteste. Andere Methoden sind besser für Computer geeignet oder zum Rechnen mit Messwerten, wie z.B. das Hausholder-Verfahren.
    Auch bei linearen Gleichungssystemen in denen ein oder mehrere Koeffizienten unbekannte Parameter sind, kann man mit diesen Methoden oft sinnvolle Aussagen erreichen. Man muss nur aufpassen, dass man nie mit Null multipliziert oder durch Null dividiert. Hier kommen oft Fallunterscheidungen ins Spiel.

  2. Hat man Gleichungssysteme in denen die Variablen in höheren Potenzen auftauchen (wie im gefragten Beispiel), so wird die Sache um einiges kniffliger. Für Gleichungen mit einer Unbestimmten und maximaler Potenz 2 gibt es die p-q-Formel.
    Für Gleichungen mit einer unbestimmten und maximaler Potenz 4 gibt es auch noch ähnliche Formeln, die aber bedeutend schwieriger zu merken sind.
    Ab der Potenz 5 gibt es solche Formeln nicht, kann es solche Formeln nicht geben. Zumindest keine allgemeinen Lösungsformeln in denen nur Wurzeln und Potenzen auftauchen. (Mit Thetafunktionen und solchen Späßen kann man da dann doch noch was bewegen.) Hier hilft dann oft nur der Computer oder Glück.
    Hat man dann noch mehr Gleichungen und mehr Unbekannte, wird die Sache eher schwieriger - falls man nicht großes Glück hat.

Hier hilft nur Erfahrung, Glück und viel Geduld.

Beste Grüße
Zwergenbrot

#7

Für Gleichungen mit einer
Unbestimmten und maximaler Potenz 2 gibt es die p-q-Formel.

Und die ist mithin in diesem Fall auch völlig ausreichend. Und ein wenig Gleichungen umstellen auf dem Niveau der 8./9. Klasse.
mfg