Limesregel ( konvergente Zahlenfolge)

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo zusammen,

ich bin in letzter Zeit in Übungsaufgaben verwickelt und lerne nebenbei den Stoff aus meinem Skript. Nun, steht in meinem Skript ein Bsp. dem ich nicht ganz folgen kann und wollte die Experten bitten, ob Sie mir dieses Bsp. mit ihren eigenen " Methoden" erläutern können . 
Da ich meinen Skript nicht als Datei zur Verfügung habe und auch keinen eigenen Scanner besitze, kann ich Ihnen leider keine Kopie „vorzeigen“ . Alles abzutippen ist auch sehr mühsam. Im Prinzip geht es um eine Beweisführung der Limesregel für eine konvergente Zahlenfolge a[n] ≥ 0 .  

Das Bsp. lautet  :  lim [n -> ∞] (5)√( a[n] ) = (5)√(lim [n -> ∞] a[n] )

(5)√a[n] = fünftewurzel von a (klein) n . Ich hoffe hier ist alles erkennbar.

Um ehrlich zu sein kenne ich noch nich einmal die Limesregel und irgendwie habe ich sie im Internet nicht gefunden.

MfG
euer CIW Student

#2

Hi,

die allgemeine Regel ist, dass Stetigkeit gerade so konstruiert ist, dass man eine stetige Funktion und Grenzwerte immer vertauschen kann. D.h., der eigentliche Kern Deiner Aussage ist, dass die 5te Wurzel, wie auch jede andere Wurzelfunktion (und Potenz- und Polynomfunktion), auf dem positiven Zahlenstrahl eine stetige Funktion ist. Nur um genügend Stoff für Übungsaufgaben am Semesteranfang zu haben, werden diese Beispiele extra einzeln abgehandelt.

Speziell zu Deinem Beispiel gibt es zwei Wege, entweder mit der verallgemeinerten dritten binomischen Formel a.k.a. den geometrischen Summen oder mit dem binomischen Lehrsatz.

Im ersten Fall benutzt Du

A^5-B^5 = (A-B)*(A^4+A^3B+A^2B^2+AB^3+B^4)

mit A=wurzel(5,a[n]) und B=wurzel(5,a) unter der Voraussetzung B>0 und damit B^4>0, d.h.,

|A-B|

#3

Ich bedanke mich wie immer bei Ihnen Herr Lehmann. Ist schön das es hier Experten gibt die stets aktiv sind und sich auch mit den mühseligsten Mitgliedern bemühen :smiley:
Also ein dickes Lob an Ihnen und vielen vielen Dank.