Hallo Zwergenbrot,
vielen vielen Dank für deine Hilfe. Bei der a hab ich zwar
jetzt eine Idee, aber ich bin mir absolut nicht sicher ob man
das so schreiben kann.
\varphi (a) + \varphi (b) = \varphi (a+b) = \varphi (y)
Ich verstehe hier schon nicht genau, wo Du bist.
Nochmal kurz mein Anfang:
Ich wollte zeigen, dass
\phi (U) + \phi (W) \subseteq \phi (U+W)
gilt.
Ich nehme mir also ein beliebiges Element
y \in \phi (U) + \phi (W)
her und möchte zeigen, dass
y \in \phi (U+W)
gilt. Da auf Grund der Beliebigkeit von y die Aussage dann für alle
y \in \phi (U) + \phi (W)
gilt, folgt die Teilmengenbeziehung.
Sei also
y \in \phi (U) + \phi (W) .
Dann gibt es Elemente
a \in \phi (U)
und
b \in \phi (W)
,
sodass y=a+b gilt.
Wann genau gilt denn
a \in \phi (U)
? Wie ist denn
\phi (U) definiert? Setze die für a ein und eine ganz ähnliche Aussage für b.
Dann helfe ich Dir gern beim nächsten Schritt.
da aber y \in \varphi (U) + \varphi (W) ist, folgt aus
meiner Gleichung auch:
\varphi (y) = \varphi (\varphi (U) + \varphi (W))
Das ist falsch. Links vom Gleichheitszeichen steht ein einzelnes Element aus V. Rechts vom Gleichheitszeichen steht eine Menge von Elementen (ein Unterraum von V). Das kann unmöglich gleich sein.
aber wie komme ich jetzt darauf, dass
\varphi (\varphi (U) + \varphi (W)) = \varphi (U+W)
ist, vermutlich gar nicht oder? 
Nein, das wird nichts. Aber zum Glück willst Du das ja auch gar nicht zeigen.
Zur b habe ich mir nun noch weitere Gedanken gemacht. Leider
weiß ich nicht wie man hier Vektoren senkrecht schreibt daher
schreibe ich sie einfach ohne Komma horizontal. Angenommen es
sei:
V = \mathbb{R}^3
Ein Tipp vorweg:
Versuche bei Gegenbeispielen immer möglichst kleine Gegenbeispiele zu finden. Vielleicht reicht ja :
V = \mathbb{R}^2.
Je „einfacher“ das Gegenbeispiel, desto leichter ist es zu verstehen und desto näher bist Du an der Erkenntnis, warum es nicht geht.
U = \alpha * (1\ 2\ 3)
U ist kein Unterraum von V. Du meinst vermutlich
U = { \alpha * (1\ 2\ 3) \ \vert \ \alpha \in \mathbb{R} }.
W = \beta * (2\ 4\ 6)
Auch hier meinst Du
U = { \beta * (2\ 4\ 6) \ \vert \ \beta \in \mathbb{R} }.
mit\ \alpha,\ \beta\ \in\ \mathbb{R}
So nachgestellt kannst Du es nicht schreiben. Da nicht klar ist, dass Du vorher von Mengen sprichst und nicht von einzelnen Vektoren mit konkreten alpha und beta.
Dann ist doch:
U \cap W = \lbrace v \in V : v \in U\ und\ v \in W \rbrace
Genau. Und wegen U=W gilt schlicht
U \cap W = U = W.
Das heißt die Schnittmenge ist W, für alle gerade Alpha ist U
= W, ist das soweit schonmal richtig?
Falsch. U ist eine Menge von Vektoren und nicht ein einzelner Vektor mit einem bestimmten alpha. Die Schnittmenge von U und W hängt nicht von irgendeinem alpha ab, sondern nur von U und W.
Bemerkung: Bei reellen Zahlen, sollte man nicht von „gerade“ sprechen. Das ist ein Begriff, der für ganze Zahlen sinnvoll ist. Da 2 jede relle Zahl teilt, sind alle reellen Zahlen „gerade“.
Vielen Dank für deine Geduld,
Kein Problem. Am Anfang ist es nun mal schwer mit der speziellen Sprache und der Logik. Solche Probleme sind wirklich nicht ungewöhnlich. Lass Dich von den vielen kleinen Rückschlägen nicht entmutigen.
Versuch bei Deinen Beweisen immer ganz, ganz kleine Schritte zu machen. Stell Dir immer vor, jemand will Deinen Beweis kaputt machen und Du musst zu jedem Schritt genau sagen können warum der gilt. Schreibe immer auf, welche Variablen woher kommen und ob die Aussage für alle x,y,a,b,alpha,… oder ein bestimmtes x,y,a,b,alpha… gelten (d.h. quantifiziere).
Beste Grüße
Zwergenbrot
