Hallo liebe Community,
Hi Chris!
-Wann ist eine Gruppe abelsch?
Eine abelsche Gruppe ist nichts anderes als eine kommutative Gruppe, d.h.
a\circ b=b\circ a\ \forall a,b\in G
Dabei ist G die Menge der Gruppe und º deren Verknüpfung.
-Was ist ein Gruppenhomomorphismus
Das ist eine Abbildung von einer Gruppe in eine andere, die sich mit der Struktur der beiden Gruppen verträgt. Das bedeutet, du kannst zwei Elemente entweder zuerst verknüpfen und das Ergebnis dann abbilden, oder du bildest beide Elemente zuerst ab und verknüpfst dann die Ergebnisse. Die Reihenfolge spielt keine Rolle. Allerdings musst du im ersten Fall die Verknüpfung der Urbildgruppe und im zweiten Fall die Verknüpfung der Bildgruppe verwenden. Formal sieht das dann so aus.
\varphi 
G,\circ_G )\longrightarrow (H,\circ_H )
mit
\varphi(g_1\circ_G g_2)=\varphi(g_1)\circ_H\varphi(g_2)\ \forall g_1,g_2\in G
Nimm als Beispiel die beiden Gruppen
(G,\circ_G )=(\mathbb{R},+)
und
(H,\circ_H )=(\mathbb{R^+},\cdot )
Dann ist die e-Funktion (wie auch jede andere Exponentialfunktion) ein Gruppenhomomorphismus, denn
e^{x+y}=e^x\cdot e^y\ \forall x,y\in\mathbb{R}
Dieser Gruppenhomomorphismus ist sogar bijektiv, deshalb ist auch die Umkehrfunktion, der natürliche Logarithmus ein Gruppenhomomorphismus.
Nehmen wir an ich habe eine Zeile (0,16,16)^T : Darf ich dann
die Zeile durch 16 teilen und eine (0,1,1)^T draus machen oder
ist mir das verboten weil ich dadurch die Determinante, Spur
oder soetwas zerstöre?
Wenn du schreibst (0,16,16)^T, sieht das eher aus wie eine Spalte.
Die Division der ersten Spalte durch 16 entspricht der Multiplikation mit der Matrix
M=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{16} & 0 & 0\0 & 1 & 0\0 & 0 & 1\end{array}\right)
von rechts. Die Division der ersten Zeile durch 16 entspricht der Multipliktion mit M von links. M hat die Determinante 1/16, in beiden Fällen wird also auch die Determinante durch 16 dividiert.
Wenn ich die ganze Matrix durch 16
teile (was ich nicht möchte!) ist es mir ja ohne weiteres
erlaubt, es geht mir erstmal nur um die eine Zeile, damit ich
easymode den Rest diagonalisieren kann.
Wenn du die ganze Matrix durch 16 teilst, dann teilst du damit die Determinante durch 16n, wobei n der Rang der Matrix ist.
Gruß,
hendrik
