Lineare Algebra - LGS in Anhängigkeit von zwei Parametern lösen

[Gnatz]

Guten Tag, 
ich lerne gerade für eine Klausur und möchte folgende Aufgabe lösen:

Gegeben sei das lineare Gleichungssystem
     αx1 − 2x2         = 4
     −x1 − x2 + 2x3  = β
     x1 + x2 − x3      = 0
mit 2 Parametern α, β ∈ R. Für welche Werte von α und β hat das lineare Gleichungssystem
ˆ   - unendlich viele Lösungen,
ˆ   - keine Lösung,
ˆ   - genau eine Lösung?

Meine grundlegende Herangehensweise ist erst einmal die, dass ich eine Koeffizientenmatrix aufstelle und versuche diese mit dem Gauß-Algorithmus zu lösen um Alpha und Beta zu bestimmen.Allerdings scheitere ich bereits an der Umformung.Gibt es eine alternativen Weg? Bzw. könnte mir jemand die ersten Schritte der Umformung erklären, damit ich weiter kommen?

Die allgemeine Vorgehensweise bei Gauß ist mir eig bekannt.

Vielen Dank!

[Lutz_Lehmann]

Hi,

eigentlich brauchst Du hier kein Gauß, Du kannst das System weitgehend einfach durch Einsetzen lösen. Die Fallunterscheidung ergibt sich dann, wenn eine Division durch Null auszuschließen ist.

Gruß, Lutz

[Gnatz]

Oh, da hatte ich aber ein Brett vor dem Kopf.

Danke! Konnte es jetzt ohne weitere Probleme lösen.

Wie ist denn das allgemeine Vorgehen bei so einer Art Aufgabe?
Bzw. sollte man immer erst einmal versuchen die Parameter durch einsetzen zu ermitteln?

Danke und Gruß.

[Martin]

Hallo,

Meine grundlegende Herangehensweise ist erst einmal die, dass ich eine :Koeffizientenmatrix aufstelle und versuche diese mit dem Gauß-Algorithmus zu lösen

Vorsicht: Die Herangehensweise „Ah, super, zu diesem Problem (hier 3×3-LGS) kenne ich ein allgemeines Lösungsschema (hier Gauß) und dann leg ich damit auch mal sofort los, weil ich ja sicher sein kann, dass es funktioniert“ kann gerade bei Klausuraufgaben regelrecht gefährlich sein! Weil Du damit eventuell wertvolle Zeit verlierst. Das passiert dann, wenn der Aufgabenautor in seinem Baby irgendeinen Shortcut zur Lösung (mehr oder weniger gut) „versteckt“ hat, der beim blinden Schemarechnen unerkannt und ungenutzt bleibt. Das Spielchen, in Aufgaben gewisse „Sollbruchstellen“ absichtlich einzubauen, ist insbesondere bei Klausuren übrigens sehr beliebt.

Also machs clever und schau Dir das Ding…

αx − 2y = 4
−x − y + 2z = β
x + y − z = 0

…erstmal mit scharfem Blick an. Ist daran irgendwas auffällig? …? Was ist mit der zweiten und dritten Gleichung? Steht da etwa in beiden die Summe x + y?Ja! Kannst Du daraus irgendwie Profit schlagen? Auch ja: Die Addition der dritten zur zweiten Gleichung bringt dann natürlich x + y zum Verschwinden. Und weiter? Aha: Es bleibt dann sogar nur z = β übrig und damit ist z bereits klargemacht! Das ist das Bonbon in dieser Aufgabe.

Vermöge der dritten Gleichung x + y − z = 0 weißt Du dann sofort, dass x + y ebenfalls gleich β sein muss. Damit kannst Du in der ersten Gleichung y durch β – x (oder x durch β – y) ersetzen und das ist dann auch schon fast im Kopf auflösbar nach x bzw. y. Die andere der beiden Variablen ist dann auch nur noch ein Klacks.

Einverstanden?

um Alpha und Beta zu bestimmen.

Wieso α und β? Die Unbekannten des Systems sind x, y, z und nach diesen ist es aufzulösen.

Gibt es eine alternativen Weg?

Siehe oben. Du kannst ja spaßeshalber zusätzlich die Gaußelimination ganz schematisch durchführen, also zuerst die Koeffizientenmatrix auf Dreiecksform bringen und danach rücksubstituieren. Oder vielleicht willst Du die Nuss auch noch mit der Determinantenmethode (Regel von Sarrus) knacken? Tu es ruhig. Danach hast Du ein gutes Gefühl dafür, um wieviel der Aufwand jeweils höher ist.

Und noch ein Tipp: Überleg Dir mal, warum ich statt der Variablen x₁, x₂, x₃ lieber x, y, z genommen habe – das ist nämlich auch so ein Geheimtrick…

Gruß
Martin
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Weil man z. B. ein „x“ ziemlich genau doppelt so schnell schreibt/eintippt wie das aus zwei Zeichen bestehende x₁, und weil der Sehsinn die Symbolbilder von x, y, z visuell besser erfassen und differenzieren kann als die von x₁, x₂, x₃. Mag sein, dass das hier nur wenig bringt, aber je komplexer eine Aufgabe ist, desto mehr können auch solche Gratis-Erleichterungen vorteilhaft ins Gewicht fallen.

[Peter_57]

Hallo,:

Also machs clever und schau Dir das Ding…

αx − 2y = 4
−x − y + 2z = β
x + y − z = 0

…erstmal mit scharfem Blick an. Ist daran irgendwas
auffällig? …? Was ist mit der zweiten und dritten
Gleichung? Steht da etwa in beiden die Summe x + y?Ja! Kannst
Du daraus irgendwie Profit schlagen? Auch ja: Die Addition der
dritten zur zweiten Gleichung bringt dann natürlich x + y zum
Verschwinden. Und weiter? Aha: Es bleibt dann sogar nur z =
β übrig und damit ist z bereits klargemacht! Das ist das
Bonbon in dieser Aufgabe.

Vermöge der dritten Gleichung x + y − z = 0 weißt Du dann
sofort, dass x + y ebenfalls gleich β sein muss. Damit
kannst Du in der ersten Gleichung y durch β – x (oder x
durch β – y) ersetzen und das ist dann auch schon fast im
Kopf auflösbar nach x bzw. y. Die andere der beiden Variablen
ist dann auch nur noch ein Klacks.

Einverstanden?

um Alpha und Beta zu bestimmen.

Wieso α und β? Die Unbekannten des Systems sind x,
y, z und nach diesen ist es aufzulösen.

Es gibt da ein „böses“ alpha =- 2, dann kann man das nicht mehr nach x,y, und z auflösen, egal welches beta man mnimmt.

Gruß
Peter

[Martin]

Hallo Peter,

OK, der Fragesteller hat geschrieben „mit dem Gauß-Algorithmus zu lösen um Alpha und Beta zu bestimmen“ und damit wahrscheinlich auch das Richtige gemeint: Nämlich das System nach den Variablen x₁, x₂, x₃ aufzulösen, um danach die „kritischen“ Werte für α und β finden zu können, d. h. die, für die das System gar keine oder unendlich viele Lösungen hat.

Der Fragesteller hatte nie vor, das System nach α und β aufzulösen – was ja auch Nonsens wäre (drei Gleichungen für zwei Unbekannte?).

Gruß
Martin

[Peter_57]

Wie ist denn das allgemeine Vorgehen bei so einer Art Aufgabe?
Bzw. sollte man immer erst einmal versuchen die Parameter
durch einsetzen zu ermitteln?

Die allgemeine Vorgehensweise findest / fandest du in deiner Mathe- Vorlesung. Und weil man nicht alles behalten kann gibt es Bücher. Zum Beispiel „Merziger, Wirth, Repetitorium Höhere Mathematik, Binomi Verlag“. Dort ist im Kapitel 11 –lineare Gleichungssysteme- lang und schmutzig genau das erklärt was du wissen willst / wolltest. Mit Fallunterscheidung und allem pipapo. Und mit dem dezenten Hinweis (Zitat) „Naturgemäß finden sich solche Aufgaben häufig in Klausuren“ (Zitat Ende) verbunden.

Gruß

[Peter_57]

Der Fragesteller hatte nie vor, das System nach α und
β aufzulösen – was ja auch Nonsens wäre (drei Gleichungen
für zwei Unbekannte?).

Soweit ich das sehe hatte das niemand vor. Alle Beteiligten hatten sich mehr oder weniger klar ausgedrückt, dass es darauf ankommt herauszufinden

für welche Werte von α und β hat das lineare Gleichungssystem
ˆ - unendlich viele Lösungen, - keine Lösung,ˆ - genau eine Lösung?

hat

Für alpha = -2 hat das LGS -wie bereits geschrieben- keine Lösung

[Martin]

Soweit ich das sehe hatte das niemand vor.

Dann ist ja gut. Wer mit solchen Aufgaben noch nicht so gut vertraut ist, könnte aber durchaus auf die Idee kommen, das LGS einfach nach α und β aufzulösen, wenn schon nach α und β gefragt ist. Das wäre jedoch ein Irrweg. Wollte es nur noch (ein letztes) mal gesagt haben.

Für alpha = -2 hat das LGS -wie bereits geschrieben- keine Lösung

Das stimmt in der Form nicht. Für α = –2 und β ≠ –2 hat es tatsächlich keine Lösung, aber für α = –2 und β = –2 hat es unendlich viele Lösungen.

Martin