Also, ich steh mal wieder auf dem Schlauch.
Meine Frage ist ganz simple, aber sie will mir nicht in den Kopf.
Warum sind Monome (1,x, x^2, x^3,…) linear unabhängig?
Der Beweis muss ja irgendwie über einen Widerspruch gehen, also dass ein Monome nicht Linearkombination der anderen ist. Und jetzt setzte ich aus… Warum nicht? Das begreife ich nicht. Wäre sehr lieb, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
Danke.
=)
Hallo !
Diese lineare Unabhängigkeit wird ja im Raum der Polynome verstanden, d.h. wenn man schreibt p(x)=∑ anxn=0 (endliche Summe), dann meint man damit das Nullpolynom. Das heißt dass p(x)=0 ∀ x. Insbesondere ist p(0)=0, d.h. a0=0. Man kann nun x ausklammern (Fundamentalsatz der Algebra). Da p überall 0 ist, hat es also unendlich viele Nullstellen, d.h. dass die Klammer die beim Ausklammern von x entstanden ist unendlich viele Nullstellen haben muss. Damit muss in der Klammer wieder das Nullpolynom stehen, das konstante Glied (a1) also wieder 0 sein usw. Diesen Schritt wiederholt man jetzt so oft bis der Grad des Polynoms erreicht ist.
Grüße
hendrik
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hi,
Warum sind Monome (1,x, x^2, x^3,…) linear unabhängig?
das kommt drauf an, auf welchem körper du arbeitest.
nimmst du den sehr trivialen körper der restklassen bzgl. 2, so ist
x² - x = 0 für alle x.
also x = x² und die momome sind nicht mehr linear unabhängig.
in bezug auf die restklassen mod. 3 gilt: x³ = x für alle x.
auf „vernünftigen“ körpern sind gleichungen der form
a.1 + b.x + c.x² = 0
usw. (und zwar für alle x, denn die 0 steht für die nullfunktion, nicht nur für eine nullstellenberechnung)
nur erfüllbar, wenn alle faktoren a = b = c (usw.) = 0 sind. eine quadratische gleichung hat ja höchstens 2 nullstellen, eine kubische höchstens 3 usw. die nullfunktion hat dann nur mehr eine einzige, die triviale darstellung.
hth
m.
Hallo,
Warum sind Monome (1,x, x^2, x^3,…) linear unabhängig?
weil sie die definitionsgemäßen Kriterien für lineare Unabhängigkeit erfüllen.
Zu zeigen:
(a xn + b xm = 0 ∀ x ⇔ a = b = 0) ∀ m ≠ n
In Worten: Die Forderung a xn + b xm = 0 ∀ x (die Null versteht sich somit als Nullfunktion) ist für verschiedene Monome (m ≠ n) durch „Koeffzientennullheit“ (a = b = 0) erfüllbar (so gehts ja immer), aber nirgendwie sonst.
Beweis:
a xn + b xm = 0 ∀ x
⇔ (a + b xm – n) xn = 0 ∀ x
⇔ a + b xm – n = 0 ∀ x oder xn = 0 ∀ x
Der rechts vom „oder“ stehende Teil hat evidenterweise den Wahrheitswert „falsch“.
⇔ a + b xm – n = 0 ∀ x
⇔ a = b = 0 oder xm – n = –a/b ∀ x (b ≠ 0)
Da voraussetzungsgemäß m ≠ n sein soll, hat der rechts vom „oder“ stehende Teil den Wahrheitswert „falsch“ (für m = n wäre xm – n = 1 ∀ x und der rechte Teil für b = –a wahr).
⇔ a = b = 0
Gruß
Martin
Zu zeigen:
(a xn + b xm = 0 ∀ x
⇔ a = b = 0) ∀ m≠ n
Das würde zeigen, dass jeweils zwei verschiedene Monome linear unabhängig sind, gefragt war aber ein Beweis dafür, dass alle Monome linear unabhängig sind.
a xn + b xm = 0 ∀ x
⇔ (a + b xm – n)xn = 0 ∀ x
Diese Äquivalenz stimmt nur unter der Voraussetzung, dass m>n.
⇔ a + b xm – n = 0 ∀ x oder xn = 0 ∀ x
Und diese Äquivalenz stimmt gar nicht.
hendrik
Hallo,
Zu zeigen:
(a xn + b xm = 0 ∀ x
⇔ a = b = 0) ∀ m≠ nDas würde zeigen, dass jeweils zwei verschiedene Monome linear
unabhängig sind, gefragt war aber ein Beweis dafür, dass alle
Monome linear unabhängig sind.
hm… blick ich grad irgendwas nicht? Warum sollte es nicht ausreichen, wenn ich zeige, dass alle voneinander verschiedenen Monome paarweise linear unabhängig voneinander sind?
a xn + b xm = 0 ∀ x
⇔ (a + b xm – n)xn = 0 ∀ x
Diese Äquivalenz stimmt nur unter der Voraussetzung, dass m>n.
Einverstanden. Weil sonst xm – n beispielsweise auch den unsympathischen Wert 0–1 annehmen kann. Man dürfte aber gleich zu Beginn des Beweises m > n voraussetzen; das würde seine Allgemeinheit nicht antasten („o.b.d.A.“).
⇔ a + b xm – n = 0 ∀ x oder xn = 0 ∀ x
Und diese Äquivalenz stimmt gar nicht.
Arrrrgggggsssss… da hast Du allerdings vollkommen recht. Unselige Fehlleistung meinerseits. Null Punkte sind gerechtfertigt.
Danke für die Korrekturen.
Gruß
Martin
@MOD: Ein misslungener Versuch eines Beweises kann zwar immer noch als schlechtes Beispiel dienen, aber von mir aus kannst Du diesen Threadast auch löschen.
hi,
hm… blick ich grad irgendwas nicht? Warum sollte es nicht
ausreichen, wenn ich zeige, dass alle voneinander
verschiedenen Monome paarweise linear unabhängig voneinander
sind?
weil paarweise lineare unabhängigkeit nicht die lineare unabhängigkeit des gesamtsystems sichert.
bsp.: die vektoren (1,0), (1,1) und (0,1) sind paarweise linear unabhängig, aber …
m.
Hallo,
weil paarweise lineare unabhängigkeit nicht die lineare
unabhängigkeit des gesamtsystems sichert.bsp.: die vektoren (1,0), (1,1) und (0,1) sind paarweise
linear unabhängig, aber …
jetzt wo Du’s sagst… manchmal ist man einfach abgrundtief blind X-/
Danke.
Gruß
Martin