Einen wunderschönen Tag,
ich suche die allg. Lösung der Differentialgleichung:
y’=(y^2-x^2)/x*y).
Folgendes habe ich mir bis jetzt überlegt:
y’=(y^2-x^2)/x*y)
y’=(1/x)*y-x*y^-1 (=>Bernoulli-DGL)
sub.: u=y^2
=> u’=(2/x)*u-2*x (=>Lineare DGL)
Bis hier bin ich noch einverstanden.
Wichtig ist, es handelt sich um eine inhomogene lineare DGL, d.h. die Lösung setzt sich zusammen aus einer partikulären und einer homogenen DGL. Ich nehme an, dass du das versucht hast, aber irgendwie wird es da wuschig.
Wir brauchen erst einmal Uh(x) und Up(x), die homogene und partikuläre Lösung der DGL. Die DGL hat dafür die Form:
y’=f(x)y + g(x)
in unserem Fall
u’=(2/x)*u -2x
d.h. wir haben
f(x)=2/x
g(x)=-2x
uh(x), der homogene Teil lässt sich nun bestimmen als:
uh(x)=exp(integral(f(x)dx))
= exp(integral(2/x dx))
= exp(2*ln(x))
= exp(ln(x^2))
= x^2
Ich hab es jetzt mal besonders ausführlich gemacht, weil du da eben sehr durcheinander gekommen bist.
Jetzt können wir mit dem Ergebnis up(x) bestimmen, das sich ergibt zu:
up(x) = uh(x) * integral((g(x)/uh(x)) dx)
Unsere Werte wieder eingesetzt, ergibt das:
up(x) = x^2 * integral((-2x/x^2) dx)
= x^2 * (-2*integral((1/x) dx))
= x^2 * (-2*ln(x))
= -2*x^2*ln(x)
Jetzt können wir das ganze Klimmbimm in den Lösungsansatz für die inhomogene lineare DGL einsetzen:
u = c*uh(x) + up(x)
u = c*x^2 -2*x^2*ln(x)
rücksublimieren mit u=y^2 ergibt:
y^2 = c*x^2 -2*x^2*ln(x)
und damit für y:
y = sqrt(c*x^2 -2*x^2*ln(x))
Das kann man sich jetzt noch ein bisschen schön basteln, indem man die x^2 aus der wurzel heraus zieht:
y = ±x*sqrt(-2*ln(x)+c)
Da das c beliebig frei wählbar ist kann man vor c jeden beliebigen Faktor schreiben oder umgekehrt auch wieder mit in das c hinein ziehen. Da in der Musterlösung die 2 noch mitsteht kannst du sie dir aus dem c heraus ziehen oder auch nicht, wirklich da stehen muss sie aber nicht, die Lösungen sind identisch.
Hoffe geholfen zu haben. Wenn noch irgendwas unklar ist, zöger nicht zu fragen.
Paul
