Lösung eines Integrals

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo Zusammen,
ich habe ein Integral zu lösen, wo ich die Lösung kenne, aber die Rechenschritte nicht.
Das Integral lautet:
F´´=F^2-1

mit den Randbedingungen F(0) = 0 und F(∞) =1 und F´(∞)=0

In der Lösung heißt es multipliziert man beide Seiten mit der ersten Ableitung F´, so gelingt es durch partielle Integration die folgende Lösung zu erhalten:

(F´)^2 - (2/3)*(F-1)^2*(F+2) = C

Wegen den Randbedingungen ist C=0. Das verstehe ich. Aber ich verstehe nicht wie ich mit der partiellen Integration auf das allgemeine Ergebniss komme.

Vielen Dank für eure Hilfe

#2

zwischenfrage: du schriebst "Das Integral lautet: "Das Integral lautet:
F´´=F^2-1 "
sicher, dass das die 2. Ableitung sein soll (F’’’) ?
wenn doch ergibt es keinen sinn, dass sie mit F’ multip. (F’)^2 ergibt, oder?

#3

Grüß dich.

Puh!
Das is jetzt nich so einfach, da muß ich mich selber erst mal wieder einlesen.
Aber ich bleib dran.

Gruß Tony

#4

Hi,
ja sicher es soll die zweite Ableitung (F’’) sein.

Ich glaube ich habe gerade die Lösung gefunden. Da es so viele Formeln sind, will ich es heute in mein Latex schreiben, und hier reinstellen (wenn es geht…). Ich schaue das ich es bis heute Abend schaffe.

Grüße

#5

okay, dich bin auf dein Latex gespannt

#6

Das multiplizierte Integral ist:

F’F’’=F’(F^2-1)

Jeder einzelne Term wird mit der partiellen Integration umgewandelt. (Die Integrationskonstanten habe ich jetzt absichtlich weggelassen, um sie später einzufügen)

\int F’F’‚d\eta = (F‘)^2 - \int F’F’'d\eta

Daraus folgt die Umwandlung

\int F’F’‚d\eta = \frac{1}{2}(F‘)^2

Der zweite Term:

F’(F^2-1)=F(F^2-1)-\int F(2FF’)d\eta =F(F^2-1) -2\int F^2F’d\eta

Das Integral hier muss wieder partiell integriert werden:

\int F^2F’d\eta = F^{3}- \int F2FF’d\eta= F^{3} - 2\int{F^{2}F’} d\eta

\rightarrow \int F^{2}F’d\eta = \frac{1}{3} F^{3}

Nun alle Terme zusammenfassen ergibt:

\underbrace{\frac{1}{2}(F’)^2}_{\text{F’F’’}} -[\underbrace{F(F^2-1)-2(\frac{1}{3} F^{3})}_{\text{F’({FF}-1)}}]=C’]
Umformen:
[\frac{1}{2}F’^2 - \frac{1}{3}F^{3} + F = C’

Dann erweitern um auf das Endergebnis zu kommen:

F’^2 - \frac{2}{3}F^{3} + 2F -\frac{4}{3} = C

Wobei die 4/3 und der Faktor 2 in die Konstante eingezogen wurde.

Jetzt mit weiterem umformen ergibt sich:

F’^2 - \frac{2}{3}(F-1)^2(F+2)=C

Ich hoffe mal, dass das mathematisch halbwegs korrekt ist…

#7

bin echt beeindruckt, wie du das hier hin geschrieben hast ^^
seit wann geht das und wie?

#8

Grüße Dich !

Gibt’s genauere Angaben über F ?

#9

Das F wurde schon substituiert durch f’:

F = f’

Die ausgehende Differentialgleichung ist:

f’’’ - (f’)^2 +1 = 0

Mit F=f’ substituiert:

F’’ = F^2 -1 (siehe oben)

f zu finden ist nicht wichtig, weil f’ proportional zu der Geschwindigkeit ist, und ich das Geschwindigkeitsprofil suche. Es handelt sich um ein Strömungsproblem.

Ich habe oben eine Lösung gepostet, bin mir aber nicht sicher ob das stimmt.

#10

Es gibt hier eine LaTex Codefragment Umgebung

Am besten nachschauen auf http://www.wer-weiss-was.de/app/faqs/classic nach LaTex suchen. :smile:

#11

Kann dir keider nicht helfen.

#12

Sorry, diese Art von aufgaben kenne ich nicht

#13

Du schreibst :
„Ich habe oben eine Lösung gepostet…“
Finde ich nicht.