Hey Leute wir haben gerade in der Schule das Logarythmieren von Gleichungen. Und einen aufgaben typ hat er uns nicht erklährt … desshalb wollte ich mal wissen wie das geht. Also der Rechenweg.
also wenn zum beispiel sowas da steht …
3*5 hoch x = 12 hoch x+1
also ich weiß nicht wie das hochzeichen geht desshalb hab ich mal „hoch“ geschrieben =D
also meine frage ist jetzt wie der rechenweg ist . ich möchte nicht einmal die Lösung
ich bedanke mich schon mal im Vorraus
Lg Atomexplosion
Hi,
Hey Leute wir haben gerade in der Schule das Logarythmieren
von Gleichungen.
Logarithmus -nicht mit y…
3*5 hoch x = 12 hoch x+1
also meine frage ist jetzt wie der rechenweg ist . ich möchte
nicht einmal die Lösung
Kurz gesagt: 1.)Exponenten „bereinigen“: 3*5^x=12*12^x
2.) Variablenterme auf eine Seite: (5^x)/(12^x)=4
3) Zusammenfassen: (5/12)^x=4
4.) Logarithmieren: x= log Basis 5/12 von 4.
Falls dein TR 4.) nicht kann logarithmierst du zur Basis 10:
x*lg(5/12)=lg 4 und dividierst dann durch den lg(5/12).
Gruß orchidee
ich bedanke mich schon mal im Vorraus
Lg Atomexplosion
Hallo,
noch eine weitere Möglichkeit als Zusatz von der Variante von orchidee:
3*5^x = 12^{x+1} | ln
ln(3*5^x) = ln(12^{x+1}) | Logarithmengesetze
ln(3) + ln(5^x) = ln(12^{x+1}) | Logarithmengesetze
ln(3) + x * ln(5) = (x+1) * ln(12)
ln(3) + x * ln(5) = x * ln(12) + ln(12)
x * ln(5) - x * ln(12) = ln(12) - ln(3)
x * (ln(5) - ln(12)) = ln(12) - ln(3)
x = \frac{ln(12) - ln(3)}{ln(5) - ln(12)}
Nico
Hallo Nico,
und das zeigt hübsch den Nachteil der Sofort-Logarithmieren-Variante: Man muss unnötig oft „ln“ schreiben. Deshalb ist es besser, erst so spät wie möglich zu logarithmieren.
Und warum sollte man so etwas nicht einfach gleich allgemein lösen?
Eine mögliche Formulierung der entsprechenden allgemeinen Aufgabe wäre etwa
cA^{x+a} = dB^{x+b}
Das lässt sich ruckzuck umformen zu
\Big(\frac{A}{B}\Big)^x = \frac{dB^b}{cA^a}
und durch Logarithmieren erhält man als Lösung:
x = \frac{\log \frac{dB^b}{cA^a}}{\log \frac{A}{B}}
wobei als „log“ jeder (!) Logarithmus erlaubt ist, d. h. die log-Basis kann beliebig sein, solange es im Zähler und Nenner jeweils dieselbe ist.
Noch ein Tick allgemeiner wäre die Aufgabe
cA^{\alpha x+a} = dB^{\beta x+b}
und auch das lässt sich lösen und es ist sogar nur minimal schwerer. Erst eine additive Konstante auf irgendeiner Seite der Gleichung ändert den grundsätzlichen Problemtyp radikal:
cA^{\alpha x+a} = dB^{\beta x+b} + k
ist für k ≠ 0 im allgemeinen nicht mehr geschlossen lösbar.
Gruß
Martin
Hallo,
Und warum sollte man so etwas nicht einfach gleich allgemein
lösen?
weil es nicht gefordert wurde und weil es eher von Nachteil ist, wegen größerer Schreibarbeit, Unübersichtlichkeit und ggf. fehlender Vereinfachungsmöglichkeiten.
Gruß
Pontius
hübsche Endform
Hallo Nico,
das läßt sich noch nett vereinfachen:
x = \frac{ln(12) - ln(3)}{ln(5) - ln(12)}
x = \frac{\ln(\frac{12}{3})}{ln(\frac{5}{12})}
= \frac{\ln4}{\ln(5/12)}.
PS. Latex kennt den Befehl \ln, der die Buchstaben aufrecht setzt und sich auch gleich um die korrekten Abstände kümmert. Das verbessert die Optik noch
etwas. 
Liebe Grüße,
The Nameless