Logikrätsel

Freizeit & Hobby Rätsel
#1

Hallo,
ich habe eigentlich so meinen Spaß an echten Rätselaufgaben zum Knobeln, aber folgendes Logikrätsel hat es in sich:

Auf einer verlassenen Insel ist ein Schatz vergraben. Ein Schiffbrüchiger findet in einer Flaschenpost am Strand die folgende Beschreibung auf vergilbtem Papier:
„Auf der Insel findest Du den Galgen, eine Palme und einen Brunnen. Geh’ vom Galgen geradeaus zur Palme und zähle Deine Schritte. Wende Dich an der Palme um 90 Grad nach links, geh’ noch einmal die gleiche Anzahl Schritte. Markiere diesen Punkt. Nun gehe vom Galgen direkt
zum Brunnen und zähle wieder Deine Schritte. Drehe Dich dort um 90 Grad nach rechts; gehe in diese Richtung mit der neuen Schrittzahl. Markiere auch diesen Punkt. Nun wirst Du den Schatz genau in der Mitte der beiden markierten Punkte finden.“
Leider ist der Galgen nicht mehr zu sehen. Er ist vollständig verrottet. Der Brunnen und die Palme sind jedoch noch da. Wie kann der Schiffbrüchige den Schatz trotzdem finden?

Das kann ich überhaupt nicht lösen - und ehrlich gesagt fühle ich mich hierbei auch verarscht. Er könnte doch einfach wieder den Weg zurückgehen :smile:
Der Aufgabenstellung nach würde ich auch vermuten, dass der Schatz beim Galgen liegt.

Beim Versuch zu Mogeln habe ich im Internet das Rätsel auch einmal gefunden! Auf der Seite einer Uni als Mathematikrätsel. Ist das hier so ein Logikrätsel, für das man komplexe Berechnungen anstellen soll oder wie? Aber ist doch auch irgendwie Unsinn, der Schiffbrüchige kann ja dann keine Winkel berechnen usw.

Grüße von
McMike

#2

Das kann ich überhaupt nicht lösen

bei solchen rätseln empfiehlt sich folgende herangehensweise:

  • skizzen machen. möglichst mehrere, möglichst genau. da die positionen der drei fixpunkte nicht angegeben sind, kannst du viele verschiedene konstellationen durchprobieren.

  • hypothese aufstellen. wenn du den schatz eingezeichnet und zu den beiden noch vorhandenen fixpunkten in relation gesetzt hast, wird dir hoffentlich etwas auffallen. kann es denn sein?

  • verifizieren. du versuchst, deine hypothese mit mathematischen mitteln zu verifizieren. vermutlich geht es auch mit vektoren, aber ich ziehe bei geometrischen rätseln immer die geometrische lösung vor, sie ist meistens watscheneinfach. wie auch in diesem fall.

und ehrlich gesagt fühle ich mich hierbei auch verarscht.
Er könnte doch einfach wieder den Weg zurückgehen :smile:

welchen weg?

Der Aufgabenstellung nach würde ich auch vermuten, dass der
Schatz beim Galgen liegt.

demnach hast du nie auch nur ansatzweise eine skizze gemacht.

Auf der Seite einer Uni als Mathematikrätsel.
Ist das hier so ein Logikrätsel, für das man komplexe
Berechnungen anstellen soll oder wie?

keine komplexen berechnungen, aber ein bißchen mathematisches (in diesem fall wie gesagt geometrisches) handwerkszeug braucht man schon.

Aber ist doch auch irgendwie Unsinn, der Schiffbrüchige kann ja dann keine Winkel berechnen usw.

die meisten rätsel sind unsinn, aber es geht ja auch nicht um den realitätsbezug. aber einen rechten winkel kann sogar ein schiffbrüchiger irgendwie hinkriegen. mehr braucht man dazu sicher nicht.

ich kann am abend eine lösung zeichnen und posten, aber ich glaube, selbst lösen macht mehr spaß. ich hab etwa 10 minuten dafür gebraucht.

#3

spoiler
hi,

Auf einer verlassenen Insel ist ein Schatz vergraben. Ein
Schiffbrüchiger findet in einer Flaschenpost am Strand die
folgende Beschreibung auf vergilbtem Papier:
„Auf der Insel findest Du den Galgen, eine Palme und einen
Brunnen. Geh’ vom Galgen geradeaus zur Palme und zähle Deine
Schritte. Wende Dich an der Palme um 90 Grad nach links, geh’
noch einmal die gleiche Anzahl Schritte. Markiere diesen
Punkt. Nun gehe vom Galgen direkt
zum Brunnen und zähle wieder Deine Schritte. Drehe Dich dort
um 90 Grad nach rechts; gehe in diese Richtung mit der neuen
Schrittzahl. Markiere auch diesen Punkt. Nun wirst Du den
Schatz genau in der Mitte der beiden markierten Punkte
finden.“
Leider ist der Galgen nicht mehr zu sehen. Er ist vollständig
verrottet. Der Brunnen und die Palme sind jedoch noch da. Wie
kann der Schiffbrüchige den Schatz trotzdem finden?

Das kann ich überhaupt nicht lösen - und ehrlich gesagt fühle
ich mich hierbei auch verarscht. Er könnte doch einfach wieder
den Weg zurückgehen :smile:
Der Aufgabenstellung nach würde ich auch vermuten, dass der
Schatz beim Galgen liegt.

der schatz liegt auf der streckensymmetrale zwischen dem brunnen und der palme, und zwar so, dass man von dort die palme und den brunnen unter rechtem winkel sieht.

Beim Versuch zu Mogeln habe ich im Internet das Rätsel auch
einmal gefunden! Auf der Seite einer Uni als Mathematikrätsel.
Ist das hier so ein Logikrätsel, für das man komplexe
Berechnungen anstellen soll oder wie? Aber ist doch auch
irgendwie Unsinn, der Schiffbrüchige kann ja dann keine Winkel
berechnen usw.

die rechnungen sind nicht sehr komplex, aber wahrscheinlich wärst du im mathebrett besser aufgehoben.

kurz skizziert:

du denkst dir den punkt, an dem der galgen stand, als koordinatenursprung und ziehst die linie zur palme als x-achse. die länge galgen-palme bezeichne als a. dann hat die palme die koordinaten (a,0) und der punkt A die koordinaten (a,a).
die koordinaten des brunnens nennen wir (b,c). dann liegt der punkt B bei den koordinaten (b-c,b+c).

die schatzkoordinaten sind dann ((a+b-c)/2, (a+b+c)/2).

bis jetzt ist das alles theorie, denn du kennst ja die lage des koordinatenursprungs und damit auch die maße a, b und c nicht.

aber: der mittelpunkt zwischen brunnen und palme liegt auf ((a+b)/2, c/2).
der richtungsvektor der streckensymmetralen hat die richtung (-c/2, (a+b)/2).

damit kann mit exakt einem richtungsvektor vom mittelpunkt zwischen brunnen und palme der lageplatz des schatzes erreicht werden. brunnen, palme und schatz bilden also ein rechtwinkliges und gleichschenkliges dreieck mit dem rechten winkel beim schatz. solche punkte gibt es nur 2.

ein paar elementare kenntnisse über vektorrechnung reichen - man braucht vielleicht ein bisschen geschick in der anwendung, aber die nötige mathematik lernt man nicht erst an der uni.#

frage ist: was macht ein schiffbrüchiger mit einem schatz?

hth
m.

#4

geometrische lösung
hier ist die versprochene grafik: http://www.gliffy.com/publish/1130781/L

ich mag nicht alles genau beschriften und erklären, aber man kann glaube ich relativ leicht nachvollziehen, daß der schatz (S), der vom galgen (G) aus ursprünglich mit hilfe der palme § und des brunnens (B) gefunden wird (strichlierte linien), auch ohne G über den punkt X (halbiert die strecke BP) gefunden werden kann.

die beiden dreiecke bei B sind kongruent, die beiden bei P auch. daraus folgt wiederum, daß die basis der beiden dreiecke oberhalb der strecke BP gleich ist, die senkrechte aus punkt S halbiert also die restliche strecke und damit auch BP. die höhe der beiden oberen dreiecke ergibt insgesamt auch wieder BP, damit entspricht ihr arithmetisches mittel der halben strecke.

alles klar?

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#5

Scherzrätsel
Dumm nur, dass nicht nur der Galgen verrottet ist, die Palme hat sich auch vermehrt. Es gibt keine Garantie dafür, dass die größte Palme die erste auf er Insel war, schließlich konnte sie auch bei einem Sturm umgeknickt und fortgeweht sein.

#6

Verständnisproblem
Guten Tag.

du denkst dir den punkt, an dem der galgen stand, als
koordinatenursprung und ziehst die linie zur palme als
x-achse. die länge galgen-palme bezeichne als a. dann hat die
palme die koordinaten (a,0) und der punkt A die koordinaten
(a,a).
die koordinaten des brunnens nennen wir (b,c). dann liegt der
punkt B bei den koordinaten (b-c,b+c).

die schatzkoordinaten sind dann ((a+b-c)/2, (a+b+c)/2).

bis jetzt ist das alles theorie, denn du kennst ja die lage
des koordinatenursprungs und damit auch die maße a, b und c
nicht.

aber: der mittelpunkt zwischen brunnen und palme liegt auf
((a+b)/2, c/2).
der richtungsvektor der streckensymmetralen hat die richtung
(-c/2, (a+b)/2).
damit kann mit exakt einem richtungsvektor vom mittelpunkt
zwischen brunnen und palme der lageplatz des schatzes erreicht

Bis hierhin ein super Spoiler!

werden. brunnen, palme und schatz bilden also ein
rechtwinkliges und gleichschenkliges dreieck mit dem rechten
winkel beim schatz. solche punkte gibt es nur 2.

Hier aber gerate ich ins stocken. Von welchen Dreiecken reden wir denn hier? Für mich liest es sich so, als wenn die Punkte: Palme, Brunnen, Schatz das rechtwinklige Dreieck bilden. Meine Zeichnung verrät mir aber, dass es so nicht gemeint war. Ebenfalls war wohl nicht gemeint, dass ich die Strecke von der Palme zum Brunnen verlaengere und dann von dieser Strecke einen rechten Winkel zum Schatz ziehe.

Bis mir dann wieder folgendes im Sinn kam:

der schatz liegt auf der streckensymmetrale zwischen dem
brunnen und der palme, und zwar so, dass man von dort die
palme und den brunnen unter rechtem winkel sieht.

Wenn ich zwei solcher Dreiecke zeichne, weiß ich aber nicht, wofür wiederum die Streckensymmetrale gut sein sollte. Und wenn ich von der Streckensymmetrale einen rechten Winkel zum Brunnen und einmal zur Palme ziehe, (Brunnen, Punkt auf Streckensymmetrale, Schatz bilden rechtwinkliges Dreieck) scheint mir das genauso wenig hilfreich.

ein paar elementare kenntnisse über vektorrechnung reichen -
man braucht vielleicht ein bisschen geschick in der anwendung,
aber die nötige mathematik lernt man nicht erst an der uni.#

Aber auch hier - wir sind doch beim zweiten Punkt - von dem läuft der Schiffbrüchige zurück zum Brunnen, dann geht er die halbe Strecke (bis zur Palme), um auf den Schnittpunkt der Geraden zwischen Palme und Brunnen mit der Streckensymmetralen zu kommen. Und von da aus geht es weiter?! Vielleicht löst sich das Problem ja auf, wenn ich wüsste, von welchen Dreiecken du redest.

Schöne Grüße
McMike

#7

Hier aber gerate ich ins stocken. Von welchen Dreiecken reden
wir denn hier? Für mich liest es sich so, als wenn die Punkte:
Palme, Brunnen, Schatz das rechtwinklige Dreieck bilden. Meine
Zeichnung verrät mir aber, dass es so nicht gemeint war.

schau dir meine skizze an: http://www.gliffy.com/publish/1130781/L

die dicken linien BX, SX und PX sind jeweils gleich lang. das dreieck BPS ist sehr wohl rechteckig und gleichschenkelig, wenn du die seiten BS und PS auch einzeichnest.

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#8

hi,

du denkst dir den punkt, an dem der galgen stand, als
koordinatenursprung und ziehst die linie zur palme als
x-achse. die länge galgen-palme bezeichne als a. dann hat die
palme die koordinaten (a,0) und der punkt A die koordinaten
(a,a).
die koordinaten des brunnens nennen wir (b,c). dann liegt der
punkt B bei den koordinaten (b-c,b+c).

die schatzkoordinaten sind dann ((a+b-c)/2, (a+b+c)/2).

bis jetzt ist das alles theorie, denn du kennst ja die lage
des koordinatenursprungs und damit auch die maße a, b und c
nicht.

aber: der mittelpunkt zwischen brunnen und palme liegt auf
((a+b)/2, c/2).
der richtungsvektor der streckensymmetralen hat die richtung
(-c/2, (a+b)/2).
damit kann mit exakt einem richtungsvektor vom mittelpunkt
zwischen brunnen und palme der lageplatz des schatzes erreicht

Bis hierhin ein super Spoiler!

werden. brunnen, palme und schatz bilden also ein
rechtwinkliges und gleichschenkliges dreieck mit dem rechten
winkel beim schatz. solche punkte gibt es nur 2.

Hier aber gerate ich ins stocken. Von welchen Dreiecken reden
wir denn hier? Für mich liest es sich so, als wenn die Punkte:
Palme, Brunnen, Schatz das rechtwinklige Dreieck bilden.

exakt.

Meine
Zeichnung verrät mir aber, dass es so nicht gemeint war.

im aufgabentext kommt dieses dreieck so nicht vor, sondern es wird über die punkte A und B verwirrspiel betrieben. die rechnung zeigt, dass es aber euf das dreieck brunnen/palme/schatz hinausläuft.

Ebenfalls war wohl nicht gemeint, dass ich die Strecke von der
Palme zum Brunnen verlaengere und dann von dieser Strecke
einen rechten Winkel zum Schatz ziehe.

nein, das tut hier auch niemand.

Bis mir dann wieder folgendes im Sinn kam:

der schatz liegt auf der streckensymmetrale zwischen dem
brunnen und der palme, und zwar so, dass man von dort die
palme und den brunnen unter rechtem winkel sieht.

Wenn ich zwei solcher Dreiecke zeichne, weiß ich aber nicht,
wofür wiederum die Streckensymmetrale gut sein sollte. Und
wenn ich von der Streckensymmetrale einen rechten Winkel zum
Brunnen und einmal zur Palme ziehe, (Brunnen, Punkt auf
Streckensymmetrale, Schatz bilden rechtwinkliges Dreieck)
scheint mir das genauso wenig hilfreich.

mit den beiden gleichschenklig-rechtwinkligen dreiecken brauchst du natürlich keine streckensymmetrale mehr, schon richtig. aber zum konstruieren isse halt ganz einfach.

ein paar elementare kenntnisse über vektorrechnung reichen -
man braucht vielleicht ein bisschen geschick in der anwendung,
aber die nötige mathematik lernt man nicht erst an der uni.#

Aber auch hier - wir sind doch beim zweiten Punkt - von dem
läuft der Schiffbrüchige zurück zum Brunnen, dann geht er die
halbe Strecke (bis zur Palme), um auf den Schnittpunkt der
Geraden zwischen Palme und Brunnen mit der Streckensymmetralen
zu kommen. Und von da aus geht es weiter?! Vielleicht löst
sich das Problem ja auf, wenn ich wüsste, von welchen
Dreiecken du redest.

wirds klar?

ganz gut geht sowas in Euklid-Dynageo. da kann man das als dynamische skizze (mit bewegbaren punkten für brunnen oder palme oder galgen) gestalten.

lg
m

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#9

Welche Insel?

Auf einer verlassenen Insel ist ein Schatz vergraben. Ein
Schiffbrüchiger findet in einer Flaschenpost am Strand die
folgende Beschreibung …

Hallo, wenn ich es richtig verstehe, ist
a) auf einer Insel ein Schatz vergraben
b) an derselben Insel eine Flaschenpost angeschwemmt worden.
Aber bezieht sich die Flaschenpost auf den Schatz auf dieser Insel oder auf irgendeinen anderen Platz in Neptuns weitem Reich?
Bernhard

#10

Guten Morgen.

Hier aber gerate ich ins stocken. Von welchen Dreiecken reden
wir denn hier? Für mich liest es sich so, als wenn die Punkte:
Palme, Brunnen, Schatz das rechtwinklige Dreieck bilden.

exakt.

Meine
Zeichnung verrät mir aber, dass es so nicht gemeint war.

im aufgabentext kommt dieses dreieck so nicht vor, sondern es
wird über die punkte A und B verwirrspiel betrieben. die
rechnung zeigt, dass es aber euf das dreieck
brunnen/palme/schatz hinausläuft.

Das verwirrt mich jetzt. Die Koordinaten sind ja für

Palme: (a,0)

Brunnen: (b,c)

Schatz: ((a+b-c)/2, (a+b+c)/2).

Wenn ich jetzt aber a = 6, b=4 und c=6 wähle, erhalte ich dann ja für die Koordinaten

Palme: (6,0)

Brunnen: (4,6)

Schatz: (2,8)

Wenn ich daraus ein Dreieck bilde, wir das bei mir aber nicht rechtwinklig.

Wenn ich zwei solcher Dreiecke zeichne, weiß ich aber nicht,
wofür wiederum die Streckensymmetrale gut sein sollte. Und
wenn ich von der Streckensymmetrale einen rechten Winkel zum
Brunnen und einmal zur Palme ziehe, (Brunnen, Punkt auf
Streckensymmetrale, Schatz bilden rechtwinkliges Dreieck)
scheint mir das genauso wenig hilfreich.

mit den beiden gleichschenklig-rechtwinkligen dreiecken
brauchst du natürlich keine streckensymmetrale mehr, schon
richtig. aber zum konstruieren isse halt ganz einfach.

Wofür ist die Streckensymmetrale nun gut? Die brauche ich ‚gar nicht‘, oder wie?

wirds klar?

Ne, leider nicht.

Mfg,
Mcmike

#11

Hi.

Hier aber gerate ich ins stocken. Von welchen Dreiecken reden
wir denn hier? Für mich liest es sich so, als wenn die Punkte:
Palme, Brunnen, Schatz das rechtwinklige Dreieck bilden. Meine
Zeichnung verrät mir aber, dass es so nicht gemeint war.

schau dir meine skizze an:
http://www.gliffy.com/publish/1130781/L

Deine Zeichnung habe ich studiert, und sie verstehe ich auch. Muss dich dafür ebenfalls loben, dankeschön.

die dicken linien BX, SX und PX sind jeweils gleich lang. das
dreieck BPS ist sehr wohl rechteckig und gleichschenkelig,
wenn du die seiten BS und PS auch einzeichnest.

Ja, das habe ich wohl gesehen. Nur würde ich auch gerne den Ansatz von Micheal nachvollziehen können. Und wenn ich mit seinen Koordinaten (die völlig logisch sind) dasselbe wie in deiner Zeichnung versuche, wird es aber nicht rechtwinklig. Was mich sehr verwundert.

Mfg
McMike

#12

tipp
da gibt es doch tatsächlich einen kleinen fehler in michaels lösung, der sich dann aber fortpflanzt. deswegen zieh ich geometrische lösungen vor, da merkt man sowas sofort.

die koordinaten des brunnens nennen wir (b,c).
dann liegt der punkt B bei den koordinaten (b-c,b+c).

das wäre der fall, wenn man beim brunnen nach links ginge. laut angabe muß man aber nach rechts, und damit hat B die koordinaten (b+c,c-b).

haut das hin?

Schatz: ((a+b-c)/2, (a+b+c)/2).

das stimmt dann wohl auch nicht… das müßte dann ((a+b+c)/2,(a+c-b)/2) sein.

Wenn ich jetzt aber a = 6, b=4 und c=6 wähle, erhalte ich dann
ja für die Koordinaten

Palme: (6,0)

Brunnen: (4,6)

Schatz: (2,8)

mit der veränderten formel ist S dann aber (8,4). das sieht jetzt einigermaßen rechtwinkelig aus und entspricht auch dem punkt, den man über den umweg der punkte A und B bekommt.

Wofür ist die Streckensymmetrale nun gut? Die brauche ich ‚gar
nicht‘, oder wie?

die streckensymmetrale brauchst du für die geometrische lösung, wie du es wahrscheinlich selbst gesehen hast. für die vektorlösung ist sie nur relevant, um zu zeigen, daß du mit ihr auch zum ziel kommst. oder aber wenn der galgen nicht im ursprung liegt und die koordinaten daher komplizierter sind. aber ich vermute, daß auch die formel für die streckensymmetrale falsch sein könnte, wenn sich da auch der folgefehler eingeschlichen hat. rechne selbst nochmal nach, ich mag keine vektoren :wink:

#13

Hallo zusammen,

da gibt es doch tatsächlich einen kleinen fehler in michaels
lösung, der sich dann aber fortpflanzt.

Zustimmung.

deswegen zieh ich
geometrische lösungen vor, da merkt man sowas sofort.

Auch bei der Lösungsvariante mit Koordinatensystem kann man eine einfachere Darstellung wählen:

Ich lege den Ursprung O des Koordinatensystems in die Mitte zwischen Palme P und Brunnen B. Die x-Achse zeigt in Richtung Palme. Die Entfernung OP nenne ich k.

Bislang haben wir also folgende Punkte:

Die Palme P bei (k,0)
Den Brunnen B bei (-k,0)
Den Galgen G bei (p,q)

Die Koordinaten p und q kenne ich nicht.

Den Vektor GP=(k-p,-q) drehe ich um 90° nach links und setze ihn an den Punkt P dran: M=(k+q,k-p)
Den Vektor GB=(-k-p,-q) drehe ich um 90° nach rechts und setze ihn an den Punkt B dran: N=(-k-q,k+p)

Der Punkt S liegt auf halber Strecke zwischen den Ortsvektoren zu den Punkten N und M:
S=(N+M)/2
S=(((-k-q) + (k+q))/2 , ((k-p) + (k+p))/2)
S=(0,k)

Das Ergebnis ist also von p und q unabhängig.

Viele Grüße
Stefan

3 Like
#14

*
das ist wirklich schön! und du hast auch keine vorzeichenfehler gemacht :wink: