Logiktrainer lösen

Wissenschaft Mathematik
#1

Hi allseits,

auf der Webseite der SZ findet man einen Logiktrainer. Er stellt (nach Erfahrung oft falsche, widersinnige) Behauptungen in den Raum, aus denen sich dann durch Logik ebenso falsche und widersinnige, aber logische, Schlussfolgerungen ergeben sollen. Ich komme mit dieser Art Aufgabenstellung nicht zurecht. Wie geht man methodisch an sie heran?

Ein Beispiel (eins der einfachen):

"Wenn alle Beamte verheiratet und alle Verheirateten reich sind, welcher der folgenden Sätze stimmt dann?"

(1) Einige Verheiratete sind Beamte.

(2) Alle Verheirateten sind Beamte.

(3) Einige Reiche sind Beamte.

(4) Alle Beamten sind reich.

Richtig ist laut Auflösung nur (4).

Ich raffs nicht. Wenn man die Aufgabenstellung so liest, dass es nur Beamte und Verheiratete gibt, folgt 4, aber auch 2, lediglich die Aussagen mit „einige“ fallen heraus, weil es ja per Angabe nur Beamte gibt. Liest man dagegen die Angabe so, dass die Existenz von Nichtbeamten angenommen werden darf, und da nirgendwo steht dass diese nicht heiraten und/oder reich werden dürfen, sind alle 4 Aussagen richtig.

Wie sind diese Aufgaben zu interpretieren, und mit welchen Methoden kann man sie formal angehen, um nicht permanent von den widersinnigen Ablenkungsmanövern in den Fragestellungen und Aussagen abgelenkt zu werden („Alle Igel haben keine Stacheln“ war mal ein logisch/formal richtiges Ergebnis, da dreht sich mir der Verstand um).

Gruss Armin.

#2

Hallo,

einer solchen Aufgabe darf man nur die Informationen nutzen, die man hat.

Du hast hier zwei Mengen.

  1. Beamte
  2. Verheiratete

Dabei ist die Menge der Beamten eine Teilmenge der Verheirateten. Ob es eine echte Teilmenge ist oder ob die Mengen identisch sind, ist nicht gesagt.

(1) Einige Verheiratete sind Beamte.

Keine Lösung, da nicht bekannt ist, ob es Verheiratete gibt, die keine Beamten sind. Wenn die Mengen identisch sind, ist diese Lösung falsch.

(2) Alle Verheirateten sind Beamte.

Keine Lösung, da nicht bekannt ist, ob die Mengen identisch sind.

(3) Einige Reiche sind Beamte.

Keine Lösung, da die Mengen leer sein können. Wenn es keine Beamten gibt, kann es keine Reichen geben, die Beamte sind.

(4) Alle Beamten sind reich.

Ja, hier besteht kein Widerspruch zu den Informationen in der Aufgabe.

Wenn die Aufgaben komplexer werden, kann es hilfreich sein, sie mit Hilfe der formalen Aussagelogik zu bearbeiten. Weitere Infos dazu findest du z. B. hier:

http://www.paukert.at/psycho/logik.pdf

Grüße

powerblue

#3

Danke für den Link. Ich kaue jetzt seit 2 Tagen (mit Unterbrechungen) darauf herum, und bleibe bereits auf der allerersten Seite hängen. Die Logik die da sein soll erschließ sich mir nicht. Ich nehms mal auseinander:

Beispiel 1.1: Immer wenn es regnet (a), dann ist
es nass (b). Es ist nicht nass, also regnet es nicht

soll angeblich logisch zwingend richtig sein. Nun gut. Man geht davon aus, dass Regen alles, also auch „es“, sofort nass macht, Und wenn ein Dach drüber ist? Unzulässig, weil von einem Dach nicht die Rede ist. Und wenns grad erst zu regnen begonnen hat und „es“ noch nichts abbekommen hat? Unzulässig, so weit darf man das Beispiel nicht strapazieren. „Es“ wird sofort nass. Gut, sind Annahmen, kann ich mit leben.

Beispiel 1.2: Immer wenn es regnet (a), dann ist
es nass (b). Es ist nass (b). Also regnet es (a)

Das soll nun nicht mehr logisch zwingend richtig sein, wieso steht da nicht, nur dass man bei nährerer Analyse unschwer selber drauf kommen kann. Ah ja. nun gut, es kann natürlich auch nass sein, weil ein Rasensprenger läuft. oder der Regen hat bereits aufgehört, und „es“ ist noch nass. Ich darf also einen Rasensprenger herbeizaubern, aber ein Dach nicht, und „es“ wird unverzüglich nass, aber nicht unverzüglich trocken?,

–> ich sehe nicht, wo der logische Unterschied zwischen 1.1 und 1.,2 liegt, zumal 2.1 dasselbe sagt wie 1.1, nur anders herum. Warum soll das eine logisch richtig sein, und das andere nicht?

Es geht gleich so weiter im Abschnitt „Formaliserung“. Aus 1.1 wird:

Beispiel 1.1: ((a→b)∧¬b)→¬a

Wo sieht der Mensch eine „und“ Verknüpfung der 3. Aussage mit dem Ergebnis der beiden Aussagen davor? Ich würde eher verstehen wenn es hieße:

(a→b)∧(¬b→¬a ).

aus a folgt b, und aus „nicht a“ folgt „nicht b“.

Gruss Armin.

#4

Hallo,

wie powerblue schon sagte, du klammerst dich zu sehr an deine Erfahrungen. Die nützen dir bei solchen Aufgaben aber rein gar nichts. Versuche nicht, die gegebenen Aussagen und Regeln auf Bekanntes zu projizieren. Das kann funktionieren, es kann aber auch schiefgehen. Günstiger ist es, die Aussagen einfach so hinzunehmen wie sie sind.
Im Beispiel gibt es zwei atomare Aussagen:
(a) Es regnet.
(b) Es ist nass.
Was auch immer das für die Realität bedeutet ist vollkommen irrelevant. Betrachte sie einfach als Aussagen, die wahr oder falsch sein können.
Es folgt die erste Regel „Immer wenn es regnet, dann ist es nass“. Wenn wir das formalisieren, können wir die Richtigkeit der Regel zum Beispiel mit einer Implikation darstellen:
©: a => b
Die Regel an sich kann natürlich auch falsch sein. Dann gibt es Belegungen für a und b, sodass © falsch wird.
Die zweite nicht-atomare Aussage war: „Es ist nicht nass.“ Das kann so formalisiert werden:
(d): !b
(das ! bedeutet in diesem Fall NICHT).
Die Richtigkeit der Folgerung (also regnet es nicht) setzt sich dann aus zwei Voraussetzungen zusammen: Die Regel © muss stimmen und (d) muss zutreffen. Also:
(c UND d) => !a
Alles eingesetzt ergibt:
((a => b) UND !b) => !a
Wenn man für diese Formel die Wahrheitstabelle aufstellt, ergibt sich für alle Belegungen WAHR. Also ist die Folgerung in jedem Fall richtig.
Schauen wir uns deine Formel mal genauer an:

(a→b)∧(¬b→¬a ).

Der erste Teil beschreibt wie oben die Richtigkeit der Regel. Der zweite Teil beschreibt genau genommen noch eine neue Regel „Wenn es nicht nass ist, regnet es nicht.“ Diese Regel wurde im Text nicht erwähnt. Allerdings ist sie immer wahr, wenn die erste Regel wahr ist. Somit beschreibt diese Formel die Richtigkeit zweier Regeln (genau genommen eigentlich nur der ersten Regel ©). Daraus kann aber nicht gefolgert werden, ob die Schlussfolgerung (also regnet es nicht) richtig ist.

Kommen wir zum zweiten Beispiel

Beispiel 1.2: Immer wenn es regnet, dann ist
es nass. Es ist nass. Also regnet es

Die Aussagen (a) bis © sind identisch wie oben. Darüber hinaus:
(d): b (Es ist nass)
Und die Folgerung (wenn die Regel gilt, und (d) erfüllt ist, dann regnet es)
(c UND d) => a
((a => b) UND b) => a
Wenn man dazu die Wertetabelle aufstellt (oder durch andere Methoden löst), sieht man, dass diese Folgerung nicht immer wahr ist. Das liegt an der Implikation. Die Wertetabelle der Implikation sieht so aus:

 a | b | a =\> b
---+---+------
 0 | 0 | 1 
 0 | 1 | 1
 1 | 0 | 0
 1 | 1 | 1

Das an sich ist reine Definitionssache. Schauen wir doch mal in die Zeile für a=0, b=1 (Es regnet nicht und es ist nass). Das Ergebnis der Implikation (die Richtigkeit der Regel) ist wahr. Das ist nachvollziehbar, denn die Regel lässt sich nicht über den Nässe-Zustand aus im Fall dass es nicht regnet. Es kann also nicht regnen und trotzdem nass sein. Die Regel wird dadurch nicht verletzt. Die hieß ja nur „Wenn es regnet ist es nass“.
Anders wäre es, wenn sie hieße „Nur wenn es regnet…“ oder „Genau dann wenn es regnet“. Dies entspricht einer Äquivalenz, deren Wertetabelle in der besagten Zeile auch eine 0 hat. Da Äquivalenzen aber recht intuitiv sind, werden sie für solche Knobelaufgaben meistens nicht verwendet.

Nico

#5

Hi Nico,

das wird mir nicht leicht fallen, aber ich versuchs.

Erst einmal wäre Grundlagenforschung angesagt. Für jemanden wie mich, der in einer Welt aus Ursache und Wirkung lebt, und den „Rest“ zumindest rein beruflich als weitgehend zufällig/spekulativ und damit als a) nicht überlegenswert und b) für sichere Systeme unbedingt zu vermeiden, betrachtet ist das eine ausgesprochene Herausforderung.

Ich habe mich daher gegen großen inneren Widerwillen weiter in den Paukert Text und in http://de.wikipedia.org/wiki/Aussagenlogik gebissen, sorry, aber jeder erklärende Satz trägt eher zur Verwirrung bei, auch weil in jedem mindestens zwei nicht erklärte rätselhafte Fachausdrücke vorkommen mit denen ich überhaupt nichts verbinden kann.

Gibt es Literatur die etwas behutsamer in die Materie einführt?

Gruss Armin.

#6

Unterschied zwischen mathematischer und normaler Logik
Hi,

zur Veranschaulichung:

Wenn wir eine Schulklasse mit nur Mädchen haben, dann kann der Mathematiker sagen: „Alle Jungen in der Klasse sind blond (oder größer als 3 Meter, oder haben einen negativen IQ oder sonst etwas)“. Das ist eine wahre Aussage - mathematisch gesehen, weil diese Aussage gleichwertig ist zu:

Für jedes Kind K der Klasse gilt: Wenn K ein Junge ist, dann ist es blond (oder …)

Und das ist gleichwertig zu:

Für jedes Kind K der Klasse gilt: Wenn K nicht blond (oder …) ist, dann ist es kein Junge.

Und das gilt ja offensichtlich: Es gilt ja sogar, dass die Haarfarbe egal ist - es ist immer kein Junge.

Ein Normalo sagt: Wat’n Quatsch - darüber braucht man gar nicht zu reden - wir wissen doch, dass es nur Mädchen sind. Und so hast du in deiner Argumentation gedacht - aber du musst umdenken. Nimm mal den Fall an, dass es gar keine Beamten gibt - dann gelten einige Aussagen, andere nicht. Oder dass alle Leute Beamte sind.

Viele Grüße

Bombadil