Logische Mathematik

Freizeit & Hobby Rätsel
#1

Hallo liebe Rätsler,

eine neue Herausforderung wartet.
Eigentlich nicht schwierig, wenn man weiss wie es geht.

Man hat zwei Zahlen, 8 und 15.

Welches ist die höchste Summe, die man durch addieren dieser beiden Zahlen in beliebiger Folge und Wiederholung nicht darstellen kann?

Zur Erklärung ein wenig mehr: 1 kann man nicht darstellen, 9 auch nicht. Es fängt also mit 8 an, weiter mit 15, dann ist 16 möglich, 33 ist nicht möglich.

Welches ist also die höchste Zahl (Summe), die man nicht darstellen kann?

Ein Tipp: Die ist gar nicht mal sooo groß.

#2

Lösung
Hallo!

Die Lösung ist 209.

Lösungsweg:

Größer als 15 x 15 = 225 kann die Zahl nicht sein, denn man kann für je 1, die dazukommt, eine 15 durch zwei 8en ersetzen. Davon gibt es 15 Stück, also genug, um so weiter zu machen, bis die Summe wieder durch 15 teilbar ist.

Zieht man dagegen 1 ab, hat man 224 = 28 x 8. Für jede weitere 1, die man abzieht, kann man je 2 x 8 durch 15 ersetzen, bis man auf 210 ist. Und dann geht es nicht weiter.

Wie soll man 209 darstellen? 14 x 15 ist schon zu viel, und 13 x 15 ergibt nur 195. Ersetzt man eine 15 durch 2 x 8, wird die Summe um 1 größer. Das kann man so oft machen, bis man jede 15 durch je 2 x 8 ersetzt hat, dann sind es 26 x 8 = 208. Reicht immer noch nicht.

Also kann man 209 nicht darstellen.

So was am frühen Morgen zu lösen, lässt den Tag gut anfangen. Sternchen dafür.

Grüße

Andreas

#3

Falsch !
Bei großen Zahlen kann man jede punktgenau treffen, indem man mit 15 und 16 (=2*8) herumspielt und damit eine Art 1 zur Verfügung hat.

Bei kleinen Zahlen geht das natürlich nicht. Ich denke mal, dass sich die größte nicht-darstellbare Summe im Bereich des kgV von 15 und 16 = 240 bewegen sollte. Intuitiv tippe ich mal auf 240-1 = 239.

MfG
Klaus

#4

Hallo.

Bei großen Zahlen kann man jede punktgenau treffen, indem man
mit 15 und 16 (=2*8) herumspielt und damit eine Art 1 zur
Verfügung hat.

Bei kleinen Zahlen geht das natürlich nicht. Ich denke mal,
dass sich die größte nicht-darstellbare Summe im Bereich des
kgV von 15 und 16 = 240 bewegen sollte. Intuitiv tippe ich mal
auf 240-1 = 239.

239 wäre aber genau 15*16-1 = 14*16+15 = 28*8+15, und wäre somit darstellbar.
Ich stimme der Lösung deines Vorposters zu. Wobei man das noch etwas anders errechnen kann.
Angenommen, wir haben eine Zahl n*15. Wir suchen das n, bei dem sich jede beliebige größere Zahl bilden lässt.
Offensichtlich müssen wir nur prüfen, ob alle Zahlen n*15+1 bis n*15+14 zu bilden sind, da n*15+15 = (n+1)*15 sich ganz einfach durch die Hinzunahme einer 15 bilden lässt und alle folgenden Zahlen wieder nach dem selben Prinzip wie der angesprochene Bereich.
Um eine Zahl, in der mind. eine 15 vorkommt um 1 zu erhöhen, ersetzt man die 15 durch zwei 8en.
Damit man eine Zahl um bis zu 14 erhöhen kann, benötigt man also mind. 14 mal die 15.
Ab 14*15=210 kann man also jede Zahl darstellen. Die gesuchte Zahl ist also die größte Zahl

#5

Ich stimme der Lösung deines Vorposters zu.

Schön wenn man während dem Schreiben auf die korrekte Lösung kommt und dann nicht das ganze Posting korrigiert, dann bleibt so ein Satz stehen, obwohl dann doch nicht korrekt.

#6

Ich nehme die Lösung zurück
Hallo!

Auch mir passiert mal ein Denkfehler.

Liegt daran, das ich mich so beeilt habe.

Mein Lösung ist falsch.

Aber ich war der schnellste, das müsst ihr zugeben, oder? :smile:

Grüße

Andreas

#7

Spoiler-Zusatz
Hallo,

hier alle Zahlen, die nicht darstellbar sind:

1 2 3 4 5 6 7 9
10 11 12 13 14 17 18 19
20 21 22 25 26 27 28 29
33 34 35 36 37
41 42 43 44 49
50 51 52 57 58 59
65 66 67
73 74
81 82 89
97

Gruß
Daniel

#8

Die Auflösung
Hallo.

Das wäre die Zahl 13*8 = 104. Diese kann nun 6mal um 1 verringert werden, so dass man auf 8+6*15 = 98 kommt.
Diese Zahl kann nun nicht weiter um 1 verringert werden, die 97 ist also die gesuchte Zahl.

Der Lösungsweg mit den zusammenhängend darstellbaren Gruppen war schon ganz richtig.

8
15, 16
23, 24
30, 31, 32
38, 39, 40
45, 46, 47, 48
53, 54, 55, 56
60, 61, 62, 63, 64
68, 69, 70, 71, 72
75, 76, 77, 78, 79, 80
83, 84, 85, 86, 87, 88
90, 91, 92, 93, 94, 95, 96

Nach 97 kann also nur noch ein einziger Block 98 bis unendlich folgen.
90 + 8 bis 96 + 8, dann wieder von vorne mit 90 + 15 und so fort.