Weil es immer wieder Fragen dazu gibt, hab ich hier die Formalismen einmal zusammengestellt.
Mit der Galilei -Transformation rechnet man Koordinaten von einem System (K) in ein anderes System (K’) um, welches sich relativ zu dem ersten mit einer Geschwindigkeit u = {u,0,0} gleichförmig gradlinig bewegt. Da Koorodnatensysteme beliebig ausgerichtet werden können, werden sie so gelegt, daß die Richtung der Relativbewegung mit der x-Achse von K und mit der x’-Achse von K’ zusammenfällt.
Durch diese Bestimmung „gradlinig gleichförnmig“, die gleichbedeutend ist mit „kräftefrei“ und „unbeschleunigt“, sind diese Koordinatensyteme als Inertialsysteme definiert. Man nennt Inertialsysteme auch (inertiale) Bezugssysteme.
Sie sind insofern „gleichwertig“, als die physikalischen Gesetze (z.B. Differentialgleichungen) exakt dieselben sind und die Meßwerte von Observablen (Meßgrößen) durch die Galilei-Transformation verknüpft sind. Inertialsysteme bilden so die sogannte Galilei-Gruppe, weil sie die Definition einer mathematischen Gruppe erfüllen.
Man mißt z.B. die Koordinaten x, y, z und die Zeit t einer Turmspitze (resp. Turmuhr) von einem Standpunkt (= Koordinatenursprung K) aus und will wissen, wie die Koordinaten x’, y’, z’, t’ derselben Turmspitze von einem Beobachter aus gemessen werden, der sich in einem Zug befindet (der das Koordinatensystrewm K’ mitnimmt), der mit der Geschwindigkeit u = {u,0,0} an K vorbeifährt.
Die Transformation sieht dann so aus:
x’ = x + ut
y’ = y
z’ = z
t’ = t
Dasselbe umgekehrt:
x = x’ + ut’
y = y’
z = z’
t = t’
Dazu kommt noch das Additionstheorem der Geschwindigkeiten: Es wird die Geschwindigkeit eines Radfahrers gemessen, der sich im Zug relativ zu diesem mit der Geschwindigkeit v’ = {v’,0,0} bewegt:
v = v’ + u
Gilt nun u → c, dann muß man statt der Galileitransformation die Lorentz -Transformation anwenden. Die Inertial-Systeme bilden dann eine Lorentz-Gruppe:
x = (x’ + ut’)/√(1-u2/c2)
y = y’
z = z’
t = (t’ + ux’/c2)/√(1-u2/c2)
und die Geschwindigkeitsaddition sieht so aus:
v = (u + v’)/(1 + uv’/c2)
Für die umgekehrte Berechnung sind die gestrichenen und die ungestrichenen Koordinaten zu vertauschen.
Es kommen noch hinzu
die Längenkontraktion
Δx = Δx’√(1-u2/c2)
und die Zeitdilatation
Δt = Δt’/√(1-u2/c2)
Die besondere leistung der Speziellen Relativitätstheorie war, sogenannte Lorentzinvariante zu liefern. Das sind Größen, die unter der Lorentz-Transformation identisch bleiben, also invariant sind, und somit in allen Inertialsystemen.
Zu diesen Invarianten zählen unter anderem die Lichtgeschwindigkeit c und das Vierer-Längenelement
ds2 = (dx1)2 +(dx2)2 +(dx3)2 -(dx0)2
wobei
(dx0)2 = -c2(dt)2 = (icdt)2
Auch die Maxwellschen Gleichungen der Elektrodynamik sind lorentzinvariant.
Gruß
Metapher
