Hallo Mathematiker,
wenn man die Gleichung x+Wurzel(x)-12=0 löst, erhält man nach Umformen und mit pq-Formel x_1=9 und x_2=16, wobei nur x_1 stimmt. Frage: Liegt dies daran, dass man beim Umformen durch das Quadrieren die negative Lösung der Wurzel „verliert“? Oder wie erklärt sich das?
Gruß,
Spiff
Du hast recht. Durch das Quadrieren kommt eine Lösung hinzu, nämlich die negative, falls die positive richtig ist, und umgekehrt.
Wurzel(4) = x <=> x = 2
Quadrierst Du, bekommst Du die Gleichung 4 = x^2 und damit die Lösungen -2 und 2.
In Deiner Gleichung ersetze Wurzel(x) durch z, dann hast Du z^2 + z - 12 = 0 (denn Wurzel(x) * Wurzel(x) = x).
Und diese Gleichung hat tatsächlich die Lösungen, z_1 = 3 und z_2 = -4. Deine Gleichung allerdings sucht die Quadrate der Lösungen der Gleichung mit z. Quadrieren ist allerdings nicht injektiv (oder eindeutig), deshalb bekommst Du bei der Resubstitution: Suche x, so daß Wurzel(x) = -4 kein eindeutiges x.
Kommt das nicht ein wenig auf die Zahlenmenge an, der X angehört?
Das dürfte eher beim Wurzelziehen passieren.
Aber ganz banal (ohne komplexe Analysis oder Umformungen) kann man die Funktion zeichnen (lassen) und sieht eine Gerade mit einem Schnittpunkt bei x=9: http://www.wolframalpha.com/input/?i=Solve+x%2BSqrt(x)+-12,x
mfg M.L.
Ähm naja, meinst Du jetzt, daß Wurzel(0) immer oft die eindeutige Lösung 0 hat? Wenn man die 0 mal aus der Menge nimmt (mathematisch die multiplikative Halbgruppe eines Ringes), dann gibt es allgemein entweder keine, 2 oder 4 Lösungen. Letzteres in endlichen Ringen. Damit ist die Injektivität futsch, die man aber bei der Resubstitution (oder allgemein beim Umformen) braucht.
Ähm - das sieht zwar so aus, es ist aber trotzdem eine DOPPELTE Lösung. Analog zur doppelten Nullstelle eines Graphen.
Aber nein, mein Einwand bezieht sich auf die Menge der Imaginären Zahlen. Dort hat auch Wurzel(-4) eine Lösung.
Wurzel(3) hat nicht mal in der Menge der Rationalen Zahlen eine Lösung.
Und Wurzel (9/4) hat auch keine Lösung in der Menge der Ganzen Zahlen.
Man muss eben immer dir Randbedingungen beachten.
Ja, aber wir wollen gar nicht Wurzel(-4) ausrechnen, mein Einwand ist, daß es nicht ein eindeutiges x mit Wurzel(x) = -4 gibt. weder in R noch C noch Z/15Z.
Ich habe ja gesagt, es gibt im allgemeinen keine, zwei oder vier Lösungen.
Das mit der Null siehst Du falsch. Ich rede hier von Quadraten bzw. der Operation des Quadrierens, nicht von quadratischen Formen. In einem Körper gibt es keine zwei Elemente, deren Quadrat wieder Null ist, sondern nur die Null selbst. In Ringen mit Charakteristik n (n nicht prim) sieht die Sache anders aus, aber das ist hier nicht Gegenstand.
Hallo,
[…] dass man beim Umformen durch das Quadrieren die negative Lösung der Wurzel „verliert“?
nein, man verliert beim Quadrieren keine Lösungen, sondern die Lösungsmenge vergrößert sich. Dadurch enthält sie (von Ausnahmen wie der 0 abgesehen) am Schluss „falsche“ Elemente (eins oder mehrere), welche die ursprüngliche Gleichung nicht lösen. Die Lösung dieses Problems besteht darin, alle Elemente der Lösungsmenge nachträglich auf Korrektheit zu prüfen.
Billigbeispiel: Die Gleichung x = a hat die Lösungsmenge {a}, aber die Gleichung x2 = a2 hat (für a ≠ 0) die Lösungsmenge {–a, a}. Hier wäre also –a das falsche Element.
Merksatz: Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung! Deshalb immer vorsichtig sein, wenn man quadriert!
(Genauso wie es besondere Aufmerksamkeit erfordert, wenn man eine Gleichung mit einer Unbekannten multipliziert oder durch eine Unbekannte dividiert: Dann muss man stets sicherstellen, dass die Unbekannte nicht den Wert 0 hat – sonst wäre die Multiplikation bzw. Division nämlich ebenfalls keine Äquivalenzumformung. Zusammen mit dem Quadrieren sind das die elementarsten „Vorsichtssituationen“ beim Umformen von Gleichungen).
Gruß
Martin