Mächtigkeit von Mengen

Wissenschaft Mathematik
#1

Moin Mathematiker,

Cantor hat ja zu seiner eigenen Überaschung festgestellt, daß die Mächtigkeit der Reelen Zahlen und der Komplexen Zahlen gleich groß ist (überabzählbar unendlich).
Haben die ‚höheren‘ Zahlenbereiche wie die Quaternionen, die Oktonionen und Sedenionen die gleiche Mächtigkeit wie die Reelen Zahlen? Mit meinem Laienverständnis von Zahlen würde ich sagen sie wären gleichmächtig, aber ich habe keine für mich als Chemiker lesbare Sachen im Netz gefunden.
Weiß da einer mehr?

Gandlaf

#2

Cantor hat ja zu seiner eigenen Überaschung festgestellt, daß die :Mächtigkeit der Reelen Zahlen und der Komplexen Zahlen gleich groß ist :frowning:überabzählbar unendlich)

Und das ist bereits falsch. Beide Mengen sind zwar unabzählbar unendlich groß, dennoch ist die Menge der komplexen Zahlen größer als die Menge der reellen Zahlen, denn die Menge der komplexen Zahlen beinhaltet die gesamte Menge der reellen Zahlen zuzüglich der eigentlichen komplexen Zahlen die namens gebend für diese Menge ist.

#3

hi,

Cantor hat ja zu seiner eigenen Überaschung festgestellt, daß
die Mächtigkeit der Reelen Zahlen und der Komplexen Zahlen
gleich groß ist (überabzählbar unendlich).
Haben die ‚höheren‘ Zahlenbereiche wie die Quaternionen, die
Oktonionen und Sedenionen die gleiche Mächtigkeit wie die
Reelen Zahlen?

ja, es sind nach dem gleichen muster bijektionen konstruierbar.

m.

#4

Moin,

Und das ist bereits falsch.

na dann ließ Dir mal die Arbeiten von Cantor durch!

Gandalf

#5

Hu?

Und das ist bereits falsch. Beide Mengen sind zwar unabzählbar
unendlich groß, dennoch ist die Menge der komplexen Zahlen
größer als die Menge der reellen Zahlen, denn die Menge der
komplexen Zahlen beinhaltet die gesamte Menge der reellen
Zahlen zuzüglich der eigentlichen komplexen Zahlen die namens
gebend für diese Menge ist.

C ist nichts anderes als R x R, deshalb sind die Mächtigkeiten von C und R gleich. Es spielt keine Rolle, dass R eine echte Teilmenge von C ist (weil es keine endlichen Mengen sind).

Gruß,
KHK

#6

Tach,

Cantor hat ja zu seiner eigenen Überaschung festgestellt, daß die :Mächtigkeit der Reelen Zahlen und der Komplexen Zahlen gleich groß :ist :frowning:überabzählbar unendlich)

Und das ist bereits falsch.

Uh. Die bijektive Aequivalenz zwischen R und R^2 zu zeigen, ist eine schoene Fingeruebung, dann fehlt nur noch die Einsicht, dass R^2 und C irgendwie was miteinander zu tun haben. Und wenn zwischen zwei Mengen A und B eine bijektive Abbildung existiert, dann muss jedes Element in A ein Bild in B haben und jedes Element in B ein Urbild in A, das ist im Prinzip eine Definition von gleichmaechtigen Mengen.

Die Bijektion muss man nicht Mal wirklich angeben koennen, es reicht die Existenz, denn nach dem Satz von Cantor-Bernstein-Schroeder reicht es, wenn |A|=|X|\subset B und |B|=|Y|\subset A, womit man lediglich Injektionen braucht von A in eine Teilmenge von B und von B in eine Teilmenge von A, um die Existenz einer Bijektion zu folgern.

Beide Mengen sind zwar unabzählbar
unendlich groß,

Du meinst sicher ueberabzaehlbar.

dennoch ist die Menge der komplexen Zahlen
größer als die Menge der reellen Zahlen, denn die Menge der
komplexen Zahlen beinhaltet die gesamte Menge der reellen
Zahlen zuzüglich der eigentlichen komplexen Zahlen die namens
gebend für diese Menge ist.

Naja. Die Menge der positiven Brueche Q_+ enthaelt ja auch natuerliche Zahlen N, nicht desto trotz kann man mit dem Cantorischen Diagonalverfahren zeigen, dass eine Bijektion zwischen N und Q_+ moeglich ist.

Gruss
Paul

#7

hi,

Und das ist bereits falsch. Beide Mengen sind zwar unabzählbar
unendlich groß, dennoch ist die Menge der komplexen Zahlen
größer als die Menge der reellen Zahlen, denn die Menge der
komplexen Zahlen beinhaltet die gesamte Menge der reellen
Zahlen zuzüglich der eigentlichen komplexen Zahlen die namens
gebend für diese Menge ist.

vielleicht muss man sich in bezug auf unendlichkeiten von lieb gewordenen gewohnheiten verabschieden.

es ist geradezu das kennzeichen von unendlichkeit (jeder sorte), dass im prinzip gleichmächtigkeit mit einer echten teilmenge möglich ist. eine unendliche menge kann gleichmächtig sein wie eine echte übermenge.

gleichmächtigkeit heißt nur, dass bijektive zuordnungen möglich sind.

m.

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#8

Moin,

ja, es sind nach dem gleichen muster bijektionen
konstruierbar.

OK, danke und *

#9

Moin,

es ist geradezu das kennzeichen von unendlichkeit (jeder
sorte), dass im prinzip gleichmächtigkeit mit einer echten
teilmenge möglich ist.

das war für mich so eine Sache.
Unser Matheprof haute uns einfach um die Ohren, daß es eine notwendige Bedingung einer unendlichen Menge sei unendlich vieel untereinander unähnlicher Teilmengen zu haben, die wiederum die Mächtigkeit unendlich hätten.
In einer Übung kamen dann Beispiele wie:
Die Menge der Natürlichen Zahlen ist unendlich.
Es gibt aber auch unendlich viele gerade Zahlen, wie es unendlich viele ungerade Zahlen gibt. Das leuchtete mir sofort ein.

Und es muss wohl ‚Kochrezepte‘ geben, wie man (beliebig viele) Teilmengen bilden kann, die untereinander unähnlich sind. Das wurde nicht weiter erläutert und ich hab es einfach so hingenommen.

Gandalf

#10

hi,

Unser Matheprof haute uns einfach um die Ohren, daß es eine
notwendige Bedingung einer unendlichen Menge sei unendlich
vieel untereinander unähnlicher Teilmengen zu haben, die
wiederum die Mächtigkeit unendlich hätten.

ich fände es (gut konstruktivistisch) schon sehr interessant, auf den begriff der unendlichkeit probeweise einmal überhaupt zu verzichten. das beginnt bei den natürlichen zahlen. es gibt nur endlich viele je gedachte natürliche zahlen (klar: man kann zu jeder eine größere finden; aber wie weit wurde das betrieben? existiert eine zahl, die noch nie irgendjemand gedacht hat?), es gibt nur endlich viele quarks im universum. sähe eine mathematik des prinzipiell endlichen nicht realistischer aus?

vielleicht würden sich ein paar widersprüche und paradoxien von selbst auflösen?

Und es muss wohl ‚Kochrezepte‘ geben, wie man (beliebig viele)
Teilmengen bilden kann, die untereinander unähnlich sind. Das
wurde nicht weiter erläutert und ich hab es einfach so
hingenommen.

die mathematik ist durch „hinnehmen“ der verschiedenen begriffe der unendlichkeit recht weit gekommen. aber wie sähe eine prinzipiell endliche mathematik aus?

m.

#11

Moin,

vielleicht würden sich ein paar widersprüche und paradoxien
von selbst auflösen?

aber mit einiger Wahrscheinlichkeit würden sich neue, andere auftun.

Warum sollte eine bewusste Selbstbeschränkung irgendetwas bringen?

Planck hatte ja auch zeitlebens gehofft, daß sich sein ‚Rechentrick‘ irgendwie wieder in Selbstgefallen auflösen würde, weil er damit gefühlesmäßig nicht so richtig klarkam.
Aber das ist bis heute nicht passiert und es ist auch recht wahrscheinlich, daß das so bleibt.

Gandalf

#12

Tach,

ich fände es (gut konstruktivistisch) schon sehr interessant,
auf den begriff der unendlichkeit probeweise einmal überhaupt
zu verzichten. das beginnt bei den natürlichen zahlen. es gibt
nur endlich viele je gedachte natürliche zahlen (klar: man
kann zu jeder eine größere finden; aber wie weit wurde das
betrieben? existiert eine zahl, die noch nie irgendjemand
gedacht hat?),

die nat. Zahlen definiert man gerade so, dass es zu jedem Element der natuerlichen Zahlen einen Nachfolger gibt. Die Existenz einer solchen Menge bekommt man aus dem Unendlichkeitsaxiom der Mengenlehre. Genauer sind die nat. Zahlen ein Peano-System und die Konstruktion (z.B. nach von Neumann) ist entsprechend ins Unendliche moeglich.

es gibt nur endlich viele quarks im universum.
sähe eine mathematik des prinzipiell endlichen nicht
realistischer aus?

Das waere ein Teilgebiet der diskreten Mathematik. Aber es wuerde insgesamt nicht reichen, ohne die Axiomatik ordentlich durcheinanderzubringen.

vielleicht würden sich ein paar widersprüche und paradoxien
von selbst auflösen?

Nicht wirklich. Die axiomatische Mengenlehre, aus der letztlich die Zahlen herzuleiten sind, hat eine Menge Paradoxien aufgeloest. Verzichtet man auf sie und kehrt zurueck zur naiven Mengenlehre Cantors, kriegt man ordentlich Probleme. Man kann durchaus Mathematik betreiben, die auf gewisse Axiome verzichtet, prominent ist das Auswahlaxiom, das eh eine Art Sonderstellung hat. Es hat aber gute Gruende, dass man darauf in der Regel nicht verzichtet, auch weil man ohne Auswahlaxiom eine ganze Menge Saetze nicht beweisen kann, die aber offensichtlich richtig und sinnvoll sind (z.B. das Lemma von Zorn, welches als zum AA aequivalent angesehen wird) und an teils ueberraschenden Stellen auftauchen (z.B. der Satz von Hahn-Banach).

die mathematik ist durch „hinnehmen“ der verschiedenen
begriffe der unendlichkeit recht weit gekommen. aber wie sähe
eine prinzipiell endliche mathematik aus?

As already said, diskrete Mathematik tut sowas, zumindest in teilen. Hat aber auch nicht den Anspruch, den ganzen „Rest“ abdecken zu koennen.

Gruss
Paul

#13

hi,

die nat. Zahlen definiert man gerade so, dass es zu jedem
Element der natuerlichen Zahlen einen Nachfolger gibt. Die
Existenz einer solchen Menge bekommt man aus dem
Unendlichkeitsaxiom der Mengenlehre. Genauer sind die nat.
Zahlen ein Peano-System und die Konstruktion (z.B. nach von
Neumann) ist entsprechend ins Unendliche moeglich.

weiß ich schon.

Das waere ein Teilgebiet der diskreten Mathematik. Aber es
wuerde insgesamt nicht reichen, ohne die Axiomatik ordentlich
durcheinanderzubringen.

das wär ja das interessante.

vielleicht würden sich ein paar widersprüche und paradoxien
von selbst auflösen?

Nicht wirklich. Die axiomatische Mengenlehre, aus der
letztlich die Zahlen herzuleiten sind, hat eine Menge
Paradoxien aufgeloest. Verzichtet man auf sie und kehrt
zurueck zur naiven Mengenlehre Cantors,

nein. dorthin will ich nicht. mich würden prinzipiell dinge, die auf unendlichkeit verzichten, interessieren. das ist nicht der „naive cantor“.

[…]

As already said, diskrete Mathematik tut sowas, zumindest in
teilen. Hat aber auch nicht den Anspruch, den ganzen „Rest“
abdecken zu koennen.

den anspruch, den „ganzen rest“ abzudecken, hab ich eh auch nicht.

m.