Mannigfaltigkeit @ PHvL

Wissenschaft Astronomie
#1

der sich aufblasende Ballon ist nur ein Bild. Ein Friedmann-Kosmos stellt ein abstraktes Objekt - eine „Mannigfaltigkeit“ - dar, das sehr ähnliche Eigenschaften hat wie eine Oberfläche in einem höherdimensionalen Raum, aber nicht in einem höherdimensionalen Raum liegt (bzw. liegen muss).

Man kann eine Mannigfaltigkeit zu Darstellungszwecken immer in einen (fiktiven) höherdimensionalen Raum einbetten, muss dies aber nicht tun. Für die Relativitätstheorie macht eine solche Einbettung wenig Sinn, da wir uns mehr als vier Dimensionen noch schwerer vorstellen können, als 4.

Die Geschichte mit der Mannigfaltigkeit leuchtet mir nicht ein … bzw. ich kapiere sie nicht.

Wie könnte ich denn eine zweidimensionale Ebene vermittels Mannigfaltikeit krümmen … ohne die dritte Dimension zu Hilfe zu nehmen ?

Die Ballonoberfläche existiert doch nur deshalb als unbegrenzte Fläche, weil der Ballon in drei Dimensionen aufgeblasen wird.

#2

Hallo,

Man kann eine Mannigfaltigkeit zu Darstellungszwecken immer in einen
(fiktiven) höherdimensionalen Raum einbetten, muss dies aber nicht
tun. Für die Relativitätstheorie macht eine solche Einbettung wenig
Sinn, da wir uns mehr als vier Dimensionen noch schwerer vorstellen
können, als 4.

Wie könnte ich denn eine zweidimensionale Ebene vermittels
Mannigfaltikeit krümmen … ohne die dritte Dimension zu Hilfe
zu nehmen ?

Krümmung äußert sich nur dadurch, wie Längen gemessen werden. Wenn man auf ein Blatt Papier ein krummliniges Gitter aufzeichnet und festlegt, dass man Abstände durch abzählen der Gitterpunkte mißt, so ergibt sich ein zweidimensionaler gekrümmter Raum, ohne dass man eine dritte Dimension verwenden muss.

Beispielsweise kann man Landkarten losgelöst von der in 3 Dimensionen eingebetteten Erdoberfläche betrachten.

Die Ballonoberfläche existiert doch nur deshalb als
unbegrenzte Fläche, weil der Ballon in drei Dimensionen
aufgeblasen wird.

Um die gesamte Ballonoberfläche auf einmal kontinuierlich darzustellen benötigt man tatsächlich mindestens drei Dimensionen. Man kann aber eine unendliche Zahl von Flächen in drei- und höherdimensionalen Räumen angeben, die von einem Standpunkt innerhalb der Fläche nicht voneinander zu unterscheiden sind. Diese „Äquivalenzklasse“ von zweidimensionalen Räumen nennt man Mannigfaltigkeit[1].

[1] Tatsächlich definiert man die abstrakte n-dimensionale Mannigfaltigkeit sogar nur unter Verwendung n-dimensionaler Räume, so dass der (n+1)-dimensionale Raum nicht existieren muss.

–
PHvL

#3

Wie könnte ich denn eine zweidimensionale Ebene vermittels
Mannigfaltikeit krümmen … ohne die dritte Dimension zu Hilfe
zu nehmen ?

Krümmung äußert sich nur dadurch, wie Längen gemessen werden.
Wenn man auf ein Blatt Papier ein krummliniges Gitter
aufzeichnet und festlegt, dass man Abstände durch abzählen der
Gitterpunkte mißt, so ergibt sich ein zweidimensionaler
gekrümmter Raum, ohne dass man eine dritte Dimension verwenden
muss.

Gut, dies gilt doch aber nur für die Darstellung. Den zweidimensionalen Raum (als physikalischen, real vorhandenen Raum) hätte ich damit doch aber immer noch nicht gekrümmt.

Beispielsweise kann man Landkarten losgelöst von der in 3
Dimensionen eingebetteten Erdoberfläche betrachten.

Die Ballonoberfläche existiert doch nur deshalb als
unbegrenzte Fläche, weil der Ballon in drei Dimensionen
aufgeblasen wird.

Um die gesamte Ballonoberfläche auf einmal kontinuierlich
darzustellen benötigt man tatsächlich mindestens drei
Dimensionen.

Das aber genau ist doch der Knusus-Knaktus,

es geht doch nicht darum etwas darzustellen, (dieses Darstellen ist doch mehr eine psychische denn eine physikalische Angelegenheit). Natürlich können zweidimensionale Fernsehbilder in uns die Illusion des Dreidimensionalen erwecken.

Man kann aber eine unendliche Zahl von Flächen in
drei- und höherdimensionalen Räumen angeben, die von einem
Standpunkt innerhalb der Fläche nicht voneinander zu
unterscheiden sind. Diese „Äquivalenzklasse“ von
zweidimensionalen Räumen nennt man Mannigfaltigkeit[1].

[1] Tatsächlich definiert man die abstrakte n-dimensionale
Mannigfaltigkeit sogar nur unter Verwendung n-dimensionaler
Räume, so dass der (n+1)-dimensionale Raum nicht existieren
muss.

–
PHvL

Ehrlich gesagt … von letztem Absatz habe ich kein Wort verstanden.

#4

Hallo,

Krümmung äußert sich nur dadurch, wie Längen gemessen werden.
Wenn man auf ein Blatt Papier ein krummliniges Gitter
aufzeichnet und festlegt, dass man Abstände durch abzählen der
Gitterpunkte mißt, so ergibt sich ein zweidimensionaler
gekrümmter Raum, ohne dass man eine dritte Dimension verwenden
muss.

Gut, dies gilt doch aber nur für die Darstellung. Den
zweidimensionalen Raum (als physikalischen, real vorhandenen
Raum) hätte ich damit doch aber immer noch nicht gekrümmt.

Doch: der Paralleltransport ist i.A. wegabhängig, die Winkelsumme im Dreieck ist i.A. nicht 180° - der Raum ist gekrümmt.

Darüberhinaus: warum sollte das flach daliegende Blatt Papier mit der oben definierten Metrik nicht der „real vorhandene Raum“ sein?

Die Ballonoberfläche existiert doch nur deshalb als
unbegrenzte Fläche, weil der Ballon in drei Dimensionen
aufgeblasen wird.

Um die gesamte Ballonoberfläche auf einmal kontinuierlich
darzustellen benötigt man tatsächlich mindestens drei
Dimensionen.

Das aber genau ist doch der Knusus-Knaktus,

es geht doch nicht darum etwas darzustellen, (dieses
Darstellen ist doch mehr eine psychische denn eine
physikalische Angelegenheit). Natürlich können
zweidimensionale Fernsehbilder in uns die Illusion des
Dreidimensionalen erwecken.

eben: die dritte Dimension wird nur zur Darstellung verwendet, sie muss nicht real existieren, da sie keine physikalische Bedeutung hat.

Da zur Darstellung einer 4-dimensionalen Raumzeit noch höherdimensionale Räume notwendig wären, die wir uns noch weniger vorstellen können, sind derartige Darstellungen in der AR oft wertlos.

[1] Tatsächlich definiert man die abstrakte n-dimensionale
Mannigfaltigkeit sogar nur unter Verwendung n-dimensionaler
Räume, so dass der (n+1)-dimensionale Raum nicht existieren
muss.

Ehrlich gesagt … von letztem Absatz habe ich kein Wort
verstanden.

Im Grunde wird eine 2-dimensionale Mannigfaltigkeit dadurch definiert, dass es sich um einen Raum handelt, der sich an jedem Punkt so verhält als wäre er ein Blatt Papier. Ein darin befindliches Objekt kann sich also in zwei unabhängige Richtungen bewegen.

Da diese Forderung aber nur punktuell gelten soll, kann man innerhalb gewisser Grenzen noch frei vorgeben, wie Abstände zwischen den Punkten dieses Raumes gemessen werden.

–
PHvL