Hallo,
bei folgender Aufgabenstellung fehlt mir der Ansatz für die Integrale
"Der Körper K wird von den Flächen
F1: z=0 ; F2: x^2+y^2=4 und F3: x+y+z=4 mit z >= 0
begrenzt und hat die Dichte p(x,y,z)=3(x^2+y^2)"
Aufgabe: Bestimmen sie die masse von K
es muss ja 3fach Integral sein oder? Mir fehlt jetzt der ansatz für die grenzen und die variable
Danke für jede Hilfe!
Hallo,
beim Anblick von x² + y² sollte es sofort axialsymmetrisch in Deinem Kopf klingeln, und x + y + z = 4 solltest Du instantan als *b*n*ngleichung identifizieren (warum spielt es keine Rolle, wohin deren Normalenvektor zeigt?) Ohne diese Erkenntnisse wirst Du mit der Aufgabe ein Problem haben, aber mit praktisch gar keins. Das Motto heißt auch hier mal wieder: Erst viel denken und verstehen und dann wenig rechnen, statt umgekehrt. In Zylinderkoordinaten sind alle drei Dimensionen (ρ, φ, z) voneinander entkoppelt – was will man mehr.
es muss ja 3fach Integral sein oder?
Es hält Dich niemand davon ab, das Dreifachintegral hinzuschreiben, aber weil ja nur eins davon spannend ist, ist es bestimmt auch OK, nur dieses zu notieren (mit den entsprechenden Faktoren durch die anderen beiden Integrationen davor).
Eine pfiffige Aufgabe. Have a lot of fun! 
Gruß
Martin
also wennich mir das aufzeichne dann erhalte ich einen zylinder, welcher durch die ebene abgeschrägt ist.
folglich habe ich ein integral über den winkel( 0 bis 2pi), eins über den radius r des zylinders( 0 bis 2) und eins über die z von der ebene(0 bis z=4-x-y) und setzte die dichte als 3*(x^2+y^2)= 3* r^2
soweit in ordnung?
Hallo,
soweit in ordnung?
durchaus Aber was ist denn mit der Abschrägung durch die Ebene oben? Schau Dir nochmal Deine Skizze an und zeichne zusätzlich die Ebene z = 4 ein. Der eine Halbkreisteil des Zylinders ragt über diese Ebene hinaus, und gegenüberliegend fehlt ihm dafür ein entsprechend gleich großes (und weil die Dichte ja netterweise nicht von z abhängt auch gleich …) Stück Volumen. OK? Dann kannst Du die obige Frage beantworten. Integral hinschreiben, auswerten (geht fast im Kopf!) – fertig. Ich check Deine Lösung aber gerne auch nochmal durch, wenn Du willst.
Gruß
Martin
PS: Auch wenn in der Aufgabe Zahlen stehen: Machs am besten gleich allgemein, also mit Zylinderradius R (statt 2), Zylinderhöhe H (statt 4) und Dichtefaktor k (statt 3). Das ist – probier’s aus – keinen Deut aufwendiger oder komplizierter, gibt aber Deiner Aufgabenbearbeitung einen Look, der erkennen lässt, dass hier jemand mit einer gewissen Expertise am Werk war. Du kennst danach ohne nennenswerte Mehrarbeit das Volumen aller so geformten Zylinder, statt nur das für das (R = 2, H = 4, k = 3)-Exemplar. Und das Ergebnis verrät Dir auch durch bloßes Ablesen, dass die Masse z. B. proportional ist zu R4, aber nur linear in H. Solche Charakteristika eines Problems zu kennen („wieviel wiegt der Zylinder mehr, wenn ich den Radius um 10 % vergößere und die Höhe um 5 % verringere?“), ist oft viel wertvoller und interessanter, als zu wissen, dass irgendein ganz bestimmter Zylinder jetzt 301.59 Kilogramm oder Unzen oder sonstwas wiegt. You understand? Nur Kinder rechnen mit Zahlen. Falls die Quelle „zufällig“ ein Erstsemester-Übungsblatt oder dergleichen ist, dann könnte es hier um was ganz Bestimmtes gehen: „Wieviele Überforderte, wieviele Kinder, wieviele Profis?“