Hallo ich brauche dringend eure Hilfe ich komme einfach nicht klar und zwar geht es um die folgende Funktion f(x)=4x*e^1/2x ich bräuchte einmal die ersten drei ableitungen mit Rechnung bitte damit ich es nachvolziehen kann und ich weiss nicht wie man das Verhalten f für ± unendlich bestimmt. danke schon mal im vorraus für die antworten. Übrigens ich habe für die erste Ableitung folgendes raus dann kam ich nicht mehr klar f´(x)=4e^1/2x + 2x*4ex^1/2x.
Hallo Maestro
Da hat es wohl den Taktstock verbogen, oder?
Mir ist die Aufgabenstellung nicht klar, da einige Klammern zu fehlen scheinen.
Meinen Sie:
f(x) = 4*x*e^(1/(2*x)), oder
f(x) = 4*x*e^((1/2)*x), oder (und so haben sie es formuliert)
f(x) = 4*x*e^1/2*x = 2*e*x^2 ?
Ferner würde ich gerne vorher wissen, mit wem ich es zu tun habe. Sind Sie Schüler oder Student? Falls letzteres, was studieren Sie?
Mit freundlichen Grüßen
Thomas Klingbeil
Zunächst einmal danke das Sie sich Mühe gemacht haben und so schnell geantwortet haben. Ich bin Mike, Schüler und mache grad mein Abi.
f(x)=(4x)*(e^((1/2)*x)) hoffe es ist jetzt verständlicher.
Die Aufgabe lösen Sie im Wesentlichen mit der Produktregel der Differenzialrechnung. Für die Ableitung der e-Funktion benötigen Sie wegen des Faktors (1/2) noch die Kettenregel.
Es gilt:
f’(x) = 4*e^((1/2)*x) + (4*x)*(1/2)*e^((1/2)*x)
= 4*e^((1/2)*x) + (2*x)*e^((1/2)*x)
f’’(x) = 4*(1/2)*e^((1/2)*x) + 2*e^((1/2)*x) + (2*x)*(1/2)*e^((1/2)*x)
= 4*e^((1/2)*x) + x*e^((1/2)*x)
f’’’(x) = 4*(1/2)*e^((1/2)*x) + e^((1/2)*x) + x*(1/2)*e^((1/2)*x)
= 3*e^((1/2)*x) + x*(1/2)*e^((1/2)*x)
Wenn x gegen + unendlich läuft, dann läuft auch e^((1/2)*x) gegen unendlich. Also läuft auch f(x) gegen unendlich.
Das Verhalten für x gegen - unendlich bestimmen Sie mit der Regel von de L’Hospital.
e^((1/2)*x) läuft für x gegen - unendlich gegen 0. Wir formen f nun so in einen Quotienten um, dass sowohl Zähler als auch Nenner gegen + oder - unendlich laufen, wenn x gegen - unendlich läuft. Es gilt:
f(x) = (4*x) / e^(-(1/2)*x)
Bitte beachten Sie, dass 4*x (Zähler) gegen - unendlich geht und e^(-(1/2)*x) (Nenner) wegen x
Hoi,
f(x) = 4x*e^((1/2)x)
Ableitungen:
erste Ableitung:
Schritt 1: Produkt aus zwei Faktoren, die beide in Abhängigkeit von x sind ==> erster Faktor abgleitet mal zweiten unverändert + ersten unverändert mal zweiten abgeleitet.
f’(x) = 4*e^((1/2)x) + 4x*e^((1/2)x)*(1/2)
Schritt 2: der Günstigkeit halber noch das e^((1/2)x) ausklammern
= e^((1/2)x)*(2x + 4)
zweite und dritte Ableitung nach dem selben Prinzip.
Verhalten des Fkt.-Werters für x --> +/- unendlich:
lim f(x) für x --> minus unendlich
der faktor 4x wird minus unendlich
der faktor e^((1/2)x) wird aber null
==> minus unendlich mal null - was setzt sich durch?
wenn man das produkt in einen quotienten umschreibt, sieht man, dass das „minus unendlich mal null“-problem ein „minus-unendlich durch plus-undendlich“-problem ist: (4x)/(e^(-(1/2)x)))
da gibt es aber eine regel, die besagt, dass dann der quotient der ableitungen von zähler und nenner benutzt werden darf, um den grenzwert herauszufinden, und siehe da: 4/(e^(-(1/2)x))*(-(1/2))), jetzt haben wir vier durch minus plus unendlich, also vier durch minus unendlich, also 0, also für x gegen minus unendlich nähert sich f(x) immer mehr an die null an
jetzt noch lim f(x) für x --> plus unendlich
der faktor 4x wird plus unendlich
der faktor e^((1/2)x) wird plus unendlich
plus unendlich mal plus unendlich ist erst recht plus unendlich 
also für x gegen plus unendlich geht f(x) gegen plus unendlich
so das wars soweit, hat’s geholfen?
Hola, el maestro,
ich nehme an, Du interessierst Dich für die Funktion
f(x) = 4x\cdot{\rm e}^{\left(\frac{1}{2}x\right)}
(was wegen fehler Klammerung nicht ganz offensichtlich ist). Für kannst Du die erste Ableitung ganz einfach mit der Produktregel ausrechnen:
f’(x) = 4\cdot{\rm e}^{\left(\frac{1}{2}x\right)} + 4x\cdot{\rm e}^{\left(\frac{1}{2}x\right)}\cdot\frac{1}{2} = 4{\rm e}^{\left(\frac{1}{2}x\right)} + 2x\cdot{\rm e}^{\left(\frac{1}{2}x\right)}
Falls das zusätzlich x in Deinem Post nur ein Tippfehler war, hast Du das also schon richtig gemacht…
Weitere Ableitungen bekommt man ebenso einfach mit der Summenregel:
f’’(x) = 4\cdot{\rm e}^{\left(\frac{1}{2}x\right)}\cdot\frac{1}{2} + 2\cdot{\rm e}^{\left(\frac{1}{2}x\right)} + 2x\cdot{\rm e}^{\left(\frac{1}{2}x\right)}\cdot\frac{1}{2}
Damit schaffst Du sicher auch die dritte Ableitung…
Zum Verhalten für x\rightarrow+\infty kann man sagen, dass beide Faktoren 4x und {\rm e}^{\left(\frac{1}{2}x\right)} gegen \infty laufen, d.h. auch f(x)\rightarrow+\infty.
Für das Verhalten für x\rightarrow-\infty kannst Du über das „Produkt“ (-\infty)\cdot(0) nichts aussagen.
Daher empfiehlt es sich, den Ausdruck so umzuschreiben, dass die Regel von l’Hôpital angewendet werden kann:
\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x) = \lim_{x\rightarrow-\infty} \frac{4x}{{\rm e}^{\left(-\frac{1}{2}x\right)}} = \lim_{x\rightarrow-\infty} \frac{4}{-\frac{1}{2}{\rm e}^{\left(-\frac{1}{2}x\right)}} = 0
Denn es ist ja \lim_{x\rightarrow-\infty} {\rm e}^{\left(-\frac{1}{2}x\right)} = \infty.
Schöne Grüße,
Manfred
Hey,
Deine Funktion ist: f(x)=4x*e^1/2x
Ableiten, wie folgt: f’(x)= u*v’+u’*v
u = 4x u’= 4 v = e^1/2x v’= 1/2*e^1/2x
Daraus folgt => f’(x)= 4*e^1/2x + 4x*1/2*e^1/2x
Noch zusammenfassen -> f’(x)= (2x+4)e^1/2x
Nach dem Prinzip f’’(x)= (x+6)e^1/2x
f’’’(x)= (1/2x+7)e^1/2x
Jetzt noch lim x-> + unendlich
sowie lim x-> - unendlich
f(x)=4x*e^1/2x
für lim x->+ 4x lim -> + unendlich
(e-Funktion größer 0 un steigt)e^1/2x -> + unendlich
=> aus beidem folgt: geht gegen + unendlich
für lim x->- -4x lim -> - unendlich
[(e^-)-Funktion läuft gegen 0]e^-1/2x -> Grenzwert = 0
„Faktoren Ableiten“ -> -4 * 1/2 * e^-1/2x
=> Grenzwert ist 0
(Funktion besitzt auch einen Tiefpunkt, der den Grenzwert bestätigt)
Hallo!
Also ableiten tust Du sowas mit der Produktregel
u’v+v’u
also hier:
f(x)=4x*e^1/2x
u ist 4x und v ist e^0,5x
dann ergibt sich
f’(x) = 4 * e^0,5x + 4x*0,5*e^0,5x
= … + 2x*e^0,5x
dann folgt f’’ und f’’’ ebenso mit Produktregel
f’’ = 4*0,5*e^0,5x + 2*e^0,5x + 2x*0,5*e^0,5x
f’’’ = 2*0,5*e^0,5x + 2*0,5*e^0,5x + 1*e^0,5x + x*0,5*e^0,5x
Verhalten für x gegen + und - unendlich…
man muss sich überlegen, wohin e^… strebt, wenn man für x hohe bzw tief negative Zahlen einsetzt,
das dürfte +unendlich bzw 0 sein, schau Dir den Graph dazu doch mal im GTR an…
Die Ableitung von e^x/2 ist 1/2*e^x/2. Außerdem wird die Produktregel benutzt.
f’(x) = 4e^x/2 + x*e^x/2*1/2 = e^x/2(4+x/2)
f’’(x) = 1/2*e^x/2(4+x/2) + 1/2*e^x/2 = 1/2*e^x/2*(5+x/2)
f’’’(x) = 1/4*e^x/2*(6+x/2)
Die Funktion f geht für x gegen unendlich gegen unendlich, da sowohl x als auch e^x/2 gegen unendlich gehen.
Für x gegen minus unendlich geht f gegen minus unendlich, da x -> -unendlich und e^x/2 -> + unendlich.
Wenn man mehrmals ableitet erhält man als Ergebnis immer eine Summe mit 2 Summanden, wovon der rechte
1/2^n E^(x/2)*x ist. Den linken habe ich nicht formal ermittelt, aber er enthält den Faktor 1/z^n so dass die stetigen Ableitungen gegen Null streben. Ich habe das mit „Mathemathica“ rechnen lassen, so dass es natürlich formal nicht ganz durchschaubar ist.
Gruss WB
Ich habe mit Mathematica 9 dein Problem eingehend untersucht und die allgemeine Ableitung fn gefunden als
fn = 1/(2^(n-2))*ⅇ^(x⁄2)*(2n+x)
Für n nach unendlich wird die Ableitung null, für x nach unendlich werden alle Werte für alle Ableitungen unendlich.
Leider war es mir nicht früher möglich mich mit der Aufgabe eingehend zu befassen. Ich empfehle Anschaffung von „Mathematica for the classroom“.
Mathematica bearbeitet solche Rechnereien elegant (wohl, mit Ketten- uund Produktenregeln).
Gruss WB