Mathe Analytische Geometrie

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo zusammen,
ich lerne zurzeit für meine Prüfungen und bin dabei auf ein Problem gestoßen.
Informationen:
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(9 | – 4 | –2), B(–3 | 8 | –2), C(–3 | – 4 | 10), P(3 | 2 | 4) und Q(–2 | –3 | –1) gegeben.

b) Der Punkt S(1 | 0 | 2) ist der Schwerpunkt des Dreiecks ABC.
Zeigen Sie, dass die Gerade g, die durch P und Q verläuft, die Ebene
EABC in S senkrecht schneidet.

Aufgabenstellung :

c) Das Dreieck ABC soll Seitenfläche eines regelmäßigen1 Tetraeders
ABCD sein.
(1) Bestimmen Sie die beiden Punkte der Geraden g aus Teilaufgabe b,
die als vierter Eckpunkt D des Tetraeders ABCD in Frage kommen.
Das regelmäßige Tetraeder ABCD mit D(9 | 8 | 10) als viertem Eckpunkt
ist einem Würfel einbeschrieben, wie in der Abbildung auf der nächsten
Seite dargestellt.

Ich verstehe nicht ganz was diese Aufgabe von mir verlangt. Als ich mir die Lösung angeguckt habe, habe ich nicht verstanden wie sie vorgegangen sind. Sie haben die Geradengleichung mit dem Ortsvektor des Punktes A subtrahiert und den Betrag gesetzt und das alles soll gleich (Wurzel)288 sein.

PS: Die Seitenlänge des Gleichseitigen Dreiecks ABC beträgt (Wurzel)288 LE.

Ich wäre dankbar wenn mir jemand das ausführlich erklären würde.

MfG R.

#2

Ich denke ich könnte dir helfen wenn du sagst was du von der aufgabe nicht verstehst…

#3

Hallo R.

ich kann dir da leider nicht weiterhelfen, aber schonmal bei Google Vektorrechnung gegoogelt?
Oder bei Wikipedia geschaut, da sind solche grundlegenden Dinge oft gut erklärt, sonst frag mal und anderen.

#4

hallo,

einmal zu b)
du sollst aus P und Q eine gerade g basteln, und zeigen, dass diese einerseits das dreieck in S schneidet (bzw das S auf g liegt) andererseits, dass g normal steht auf die dreiecksebene. d.h. der richtungsvektor von g soll ein vielfaches vom normalvektor vom dreieck sein.
den normalvektor vom dreieck erhältst du über das kreuzprodukt.

zu c)
ein regelmäßiges tetraeder bedeutet, dass die spitze auf einer geraden liegt, die senkrecht steht auf ABC und durch dessen mittelpunkt geht.
ausserdem müssen alle seitenlängen gleich sein.
g geht jetzt schon durch den mittelpunkt vom dreieck, also durch S, und steht normal auf das dreieck. also liegt die spitze mal fix auf g… d.h. sie erfüllt die geradengleichung für einen gewissen parameter t den wir noch nicht kennen.
wir suchen 2 punkte, weil man die ja von der dreiecksebene die höhe in 2 richtungen abtragen kann. quasi einmal nach unten und einmal nach oben.
mit seitenlänge = wurzel(288) liegst du richtig.
da regelmäßiges tetraeder, müssen alle kanten, also auch die zu den spitzen genau diese länge haben.

das führt uns auf mehrere gleichungen:

  1. spitzen D,E auf g:
    d.h. die parameterdarstellung von g zeilenweise aufgeschrieben:
    x = 3 + t
    y = 2 + t
    z = 4 + t

  2. die länge von ecke A (selbiges gilt auch für B und C) zur spitze D,E ist wurzel(288)
    d.h. der vektor AD hat diese länge.
    sei D = (x,y,z)
    vektor AD = (x-9, y+4, z+2)

länge vom vektor AD errechnet sich aus der wurzel, und das ergebnis kennen wir:
wurzel((x-9)^2 + (y+4)^2 + (z+2)^2)= wurzel(288)

die gleichung kann man quadrieren

(x-9)^2 + (y+4)^2 + (z+2)^2 = 288

nun setzt du die gleichungen aus 1) hier für x,y,z, ein:

(3+t -9)^2 + (2+t +4)^2 + (4+t +2)^2 = 288

(t -6)^2 + (t +6)^2 + (t +6)^2 = 288

und löst alles nach t auf.
vergiss nicht beim ausquadrieren, die binomische formel anzuwenden :wink:

viel glück!
lili