Hallo vogue,
also ich geb dir erstmal ein paar tips, falls du damit nichts anfangen kannst, dann solltest du unten weiterlesen…da ist der ganze thoriemurks… hoffe es ist dir nicht zu trocken *hust*
Tips:
Nicht ausmultiplizieren, blöd ^^…ausklammern, gut!
besser nenner so lassen… die produktform eignet sich hier super.
und für den zähler: bring es ebenfalls in eine produktform… du kannst die dritte binomische formel anwenden…
scharf hinsehen du musst junger padawan!
zwei wege du kannst gehen…den weg der dunklen seite…dort viel viel rechnen du musst.
oder den weg der hellen seite…dort viel nachdenken du musst.
weiterhin ist mir nicht ganz klar, ob du eine klammer vergessen hast.
Meintest du
…x^4-6(x²-2)-4
f(x) = -----------------
…(x²-2)(x-4)²
?
oder doch ohne Klammer wie du geschrieben hast
…4
f(x) = x^4-6(x²-2) - -----------
…(x²-2)(x-4)²
?
Die Klammer ist wichtig (punktrechnung vor strichrechnung)
Im 2. Fall müsstest du erstmal alles auf einen Nenner bringen…das macht aber alles etwas …voluminöser.
Ich nehme mal an du hast die Klammer verplant und deine Funktion ist schon von der Form
…h(x)
f(x) = ---------
…g(x)
wobei h(x) und g(x) polynome sind.
das wichtigste wäre dann zuerst einmal alle nullstellen des nennerpolynoms {g(x)} zu kennen.
Wenn du die Nullstellen kennst, dann weist du, dass nur dort auch asymptoten auftreten können.
Falls die Nullstellen aber ebenfalls im Zählerpolynon {h(x)} auftreten, besteht die möglichkeit dass dort doch keine asymptote auftritt
Bsp:
…x-1
k(x) = ------ = 1 =/= 0
…x-1
es kann aber trotzdem eine Asymptote auftreten.
Bsp:
…x-1…1
k(x) = -------- = ------
…(x-1)²…x-1
Nun das ist jetzt aber blöd, wann gibts denn nun asymptoten und wann nicht??
Ein sinnvoller algorithmus wäre:
1.nullstellen von h(x) finden.
2.teste bei welchen dieser Nullstellen g(x) auch null wird… bei den Nullstellenvon h(x), wo g(x) nicht 0 wird, muss es eine asymptote geben!
3.Nehme nun die Restlichen nullstellen q
3.1…mit h(q) = 0 = g(q),
…falls h(q)=/=0 folgt q ist Asymptote
Bilde g(x)/(x-q) = g1(x)
Falls q keine nullstelle von g1(x) ist,
dann ist q keine asymptote
Falls doch musst du wieder zu punkt 3.1 springen… nur das du statt g und h eben die polynome einsetzt die durch polynomdivision von g und h durch (x-q) entstehen.
Du bist fertig, wenn du alle Nullstellen des Nennerpolynoms auf diese art untersucht hast.
Aber der Algorithmus ist dir vielleicht bekannt…
es hapert bei dir glaubich an etwas anderem:
ein Polynom kann in vielen Formen geschrieben werden, wobei zwei davon hier besonders wichtig sind.
Die erste ist:
g(x) = a + bx + cx² + dx^3 + ex^4 + …
diese Form nenn ich mal kurz Summenform
a,b,c,d,e…sind reelle oder komplexe zahlen
Habt ihr sowas wie komplexe zahlen schon?
- keine angst vor dem namen…so komplex sind die garnicht
-
Die zweite ist:
g(x) = (x-x0)*(x-x1)*(x-x2)*(x-x3)*…
diese Form nenn ich mal kurz Produktform
x0,x1,x2,x3 sind ebenfalls reelle oder komplexe zahlen
die produktvorm ist toll, weil man dort die nullstellen schon ablesen kann, denn die ganze funktion wird ja schon null, wenn ein Faktor Null wird.
Also z.B. wenn x den wert x0 annimmt, dann ist der erste Faktor Null bei g(x) = (x-x0)*(x-x1)*…
Und damit das ganze Produkt.
Auch die Polynomdivision ist hier simpel
g(x)
x-x0) = (x-x1)*(x-x2)*…
es ist also garnicht immer nötig alles auszumultiplizieren…es macht es teilweise umständlicher!
von der ersten zur zweiten kommst du recht umständlich (das kann sehr hässlich werden), wenn du die Nullstellen findest… in den reellen zahlen muss das aber nicht immer funktionieren.
warum das nicht immer funktioniert steht in diesem Teil:
j(x) = x² + 4
hat zB keine Nullstellen in den Reellen Zahlen.
einfach weil jedes x² positiv ist und damit ist x² + 4 ebenfalls positiv also nicht null…
damit könnte man auch keine Produktform finden, weil
man dort ja dann sofort die nullstellen ablesn könnte.
führt man nur eine Neue Zahl „i“ mit der eigenschaft
„i² = - 1“ ein, so kann man doch nullstellen finden.
j(x) = (x-2i)*(x+2i) = x² - (2i)² = x² - (2²)*(i²)
j(x) = x² - 4*(-1)
j(x) = x² + 4
in den Komplexen Zahlen kannst du jedes Polynom in Produktform bringen in den reellen nicht 
Von der zweiten zur ersten kommst du immer indem du ausmultiplizierst… dann hast du zwar die summenform, kannst aber deine nullstellen nicht mehr ablesen!
und auch die polynomdivision macht dort nicht soviel spaß.
jetzt sieht dein nennerpolynom folgendermaßen aus:
g(x) = (x²-2)(x-4)²
das ist noch nicht die produktform, sondern eher ein gemisch aus beiden formen (wegen dem x² im ersten Faktor)
aber die Form ist schon sehr „produktich“
eine Nullstelle kann ich sogar ablesen: 4
Beim ausmultiplizieren wird daraus die summenform…
