Mathe Komplexe Zahlen

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo meine Lieben ich stehe kruz vor einer Matheprüfung und habe mir noch mal meine Sachen angeschaut aber habe da ein paar Probleme mit dem Thema Komplexe Zahlen.
Die Aufgabe lautet : Bestimmen sie x1 und x2

also ich habe die gleichung x² + ( wurzel 2 + wurzel 2 i)*x -i

also wurzel habe ich einfach mal so geschrieben weil ich nicht weiz wie man hier das zeichen einfügt und das i ist ja die komplexe zahl nun ich bin so weit gekommen, dass ich weiß das es eine quadratische gleichung ist und ich die pq formel verwenden kann. Hier fängt jedoch schon mein Problem an ich weißß nicht wie ich mit der Wurzel umgehen muss mein Lehrer hat hier z.b. dieses ergebnis für x1= (1- wurzel 2/2)*(1+ i)

ich wäre euch sehr dankbar wenn mir jemand in schritten erklären könnte wie das funktioniert habe im internet geschaut aber keine seite gefunden wo es erklärt wird. LG :smile:

#2

Hallo,

an das Thema "komplexe Gleichungen erinnere ich mich nicht mehr, ich würde es wie „normale“ Gleichungen angehen:
x² + (wurzel 2 + wurzel 2 i) * x - i = 0
ich würde (wurzel 2 + wurzel 2 i) durch „n“ ersetzen:
x² + n*x - i = 0
Mitternachtsformel: x1,x2 = (-b ±Wurzel(b*b -4ac)) /2a
=> x1 = (-n + Wurzel(n*n + 4i) ) / 2
x2 = (-n - Wurzel(n*n + 4i) ) / 2
Wenn du jetzt „n“ wieder durch obige „Wurzelklammer“ ersetzt, müsste das Ergebnis rauskommen.

Nach der Vorschau kommt die Meldung: Dein Artikel enthält ein unverändertes Vollzitat, das aufgrund seiner Länge automatisch entfernt wird. Bitte kürze den Ursprungstext auf den wesentlichen Anteil, um das Zitat zu erhalten!

Ich habe jetzt zwar die Formel etwas verändert, aber der Text verschwindet nicht - scheiße
Ich hoffe, meine Antwort wird nicht zu sehr gekürzt

#3

Komplexe Zahlen sind eigentlich ganz einfach, man darf sich von dem Wort „komplex“ nur nicht einschüchtern lassen:

x² + ( wurzel 2 + wurzel 2 i)*x -i

Das ist eindeutig eine quadratische Gleichung und die üblichen Koeffizienten a, b und c sind:

a=1
b=wurzel(2)+wurzel(2)*i=(1+i)*wurzel(2)
c=-i

Ich nehm jetzt mal ganz naiv die Mitternachtsformel

x_{1/2} = (-b +/- wurzel(b^2-4*a*c))/(2*a)

und setze die obigen Werte ein. Als erstes die Diskriminante (das ist der Inhalt der Wurzel):

b^2 -4* a * c
((1+i)*wurzel(2))^2 -4* 1 * (-i)
(1+i)^2*2 +4i
(1^2+2*1*i+i^2)*2 +4i
(1 +2i -1 )*2 +4i
4i +4i
8i

Beachte hierbei die Ersetzung von „i^2“ durch „-1“!
Die Mitternachtsformel lautet nun also

x_{1/2} = (-(1+i)*wurzel(2) +/- wurzel(8i)) / 2

Die Wurzel aus 8i können wir hier ganz trickreich berechnen. Oben bei der Diskriminante haben wir ja schon festgestellt, dass

4i = (1+i)^2*2

folglich ist

8i = (1+i)^2*4

Wurzeln von Produkten darf man in Produkte von Wurzeln umwandeln, wir erhalten also

wurzel(8i) = wurzel((1+i)^2) * wurzel(4)

Beider Lösung ist trivial

wurzel(8i) = (1+i) * 2

Unsere Mitternachtsformel stellt sich nun wie folgt dar

x_{1/2} = (-(1+i)*wurzel(2) +/- (1+i)*2) / 2

ausklammern ergibt

x_{1/2} = (1+i) * (-wurzel(2) +/- 2) / 2

und schon sind wir bei dem Ergebnis deines Lehrers

x_1 = (1+i) * (-wurzel(2)/2 + 1)

und die zweite Lösung ist

x_2 = (1+i) * (-wurzel(2)/2 - 1)

Merke dir also folgende Tricks:
i^2=-1
wurzel(-y)=wurzel(-1)*wurzel(y)=wurzel(i^2)*wurzel(y)=i*wurzel(y)
i=(1+i)^2/2

#4

Hallo

Kannst du bitte dein Ergebnis mit Klammern verdeutlichen?! Ist die Gleichung =0 gegeben?

Ich habe das soeben ausgerechnet, aber ich bekomme ein bisschen ein anderes Resultat als dein Lehrer :confused: hmmm…meines ist aber sehr ähnlich.

Du brauchst die „Mitternachtsformel“, d. h. :
(-b ± (Wurzel(b^2 -4ac))/ 2a

Alle Operationen musst du gleich brauchen mit i oder ohne i. Du musst nur zusätzlich für i^2 = -1 nehmen.

LG