Mathe Matritzenrechnung

[vogue_0806]

Hey meine Lieben )
Ich hab da mal ne Frage an euch es geht um die charakteristische gleichung von einer Matrix.
Ich weiß ja wie man die berechnet habe aber leider große Probleme beim zusammenfassen der gleichung mit den Lamda was in der gleichung dann ja auftaucht.

also ich bin soweit : 1- lamda*(-14- lamda*20-lamda - 258) + 24*(-120-(-14- lamda*8)

also ich muss soweit ich weiß das zusammen fassen was aus dem kreizprodukt hiier entstanden ist und bekomme dann eine gleichung in der man die lamdas ausrechnen kann z.b. durch pq formel. Mein problem ist jedoch nur das ich nicht weiß ob ich eine einfache zahl ohne lamda mit einer zahl mit lamda addieren darf und wie man diese gleichung dort oben zusammenfasst. es wäre echt nett von euch wenn mir einer von euch erklären könnte wie das funktioniert ich wäre euch sehr dankbar

ps. falls einer das nicht versteht hier noch einmal die matrix: 1 0 24
-8 -14 -19
8 15 20 und die aufgabe lautet, bestimmen sie die charakteristische gleichung

Ich hoffe das mir einer helfen kann ich bin echt nicht gut in mathe

danke für jede hilfe jetzt schon mal LG )

[lili_6b3b70]

hi,

sorry für die verspätete antwort… weihnachten…

also du willst die charakteristische gleichung… das ding das du da schon berechnet hast ist ein guter anfang, für ne gleichung fehlt da aber mal noch was entscheidendes: nämlich " = 0 " hinten dran. sonst hast du keine gleichung.

als erstes möcht ich den von dir berechneten ausdruck noch ein bisschen korrigieren:

um missverständnisse zu vermeiden: du berechnest hier eine determinante, kein kreuzprodukt, wie du weiter unten schreibst.

eigentlich musst du folgende gleihcung lösen:

matrix - lambda*einheitsmatrix = 0

und du kannst auch ein x schreiben, wenn dich das lambda verwirrt, ist ja nur eine variable!
damit dergibt sich:

(1-x) 0 24
det ( -8 (-14-x) -19 ) = 0
8 15 (20-x)

vergiss bitte nicht, wenn du die determinante berechnest, um jene terme wo das lambda vorkommt klammern zu setzen, sonst bekommst du ein falsches ergebnis!

wie du eine determinante berechnest findest du hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Determinante_%28Mathema…
unter berechnung -> Matrizen bis zur Größe 3×3

(1- x)*(-14- x)*(20-x) + 24*15*(-8) -
[24*8*(-14-x) + 15*(-19)*(1-x)] = 0

jettz mal nur die gnaz normalen zahlen ausserhalb der klammern ausmultiplizieren:

(1- x)*(-14- x)*(20-x) - 2880 -
[192*(-14-x) - 285*(1-x)] = 0

mal hinten 192 und 285 mit den klammern multiplizieren:

(1- x)*(-14- x)*(20-x) - 2880 -
[(192*(-14) - 192*x) - (285*1 - 285*x)] = 0

ergibt unter berücksichtigung der vorzeichneregeln

(1- x)*(-14- x)*(20-x) - 2880 -
[-2688 - 192*x - 285 + 285*x)] = 0

jetzt die x-terme zamfassen, und die reinen zahlenterme zamfassen: -2688-285 = -2973
sowie -192*x + 285*x = 93*x

(1- x)*(-14- x)*(20-x) - 2880 - [-2973 + 93*x] = 0

eckige klammer weg = vorzeichne umdrehen wegen minus vor der klammer

(1- x)*(-14- x)*(20-x) - 2880 + 2973 - 93*x = 0

(1- x)*(-14- x)*(20-x) + 93 - 93*x = 0

die ersten zwei klammern miteinander ausmultiplizieren- also jedes mit jedem!

[1*(-14)+ 1*(-x) - x*(-14)- x*(-x)]*(20-x) + 93 - 93*x = 0

vorzeichen aufräumen, x*x = x^2
[-14 - x + 14*x + x^2]*(20-x) + 93 - 93*x = 0

berechne -x +14*x = 13*x
[-14 + 13*x + x^2]*(20-x) + 93 - 93*x = 0

eckige klammer mal runde klammer = jedes mit jedem multiplizieren!

[-14*20 -14*(-x) +13*x*20 -13*x*x + x^2 *20 - x^2 *x]

• 93 - 93*x = 0

zahlen ausmultiplizieren, vorzeichen aufräumen
[-280 +14*x +260*x -13*x^2 + 20*x^2 - x^3]+ 93 - 93*x = 0

berechne 14*x +260*x = 274*x
sowie -13*x^2 + 20*x^2 = 7*x^2
[-280 + 274*x + 7*x^2 - x^3]+ 93 - 93*x = 0

die klammer können wir weglassen…
-280 + 274*x + 7*x^2 - x^3 + 93 - 93*x = 0

berechne 274*x - 93*x = 181*x
-x^3 + 7*x^2 + 181*x -187 = 0
dies ist nun deine gesuchte charakteristische gleichung. wenn du diese nun noch lösen sollst, also die eigenwerte bestimmen, heißt das, du sollst von dieser gleichung die nullstellen bestimmen.
diese sind : -11, 1, 17.

ich hoff du kennst dich aus, und verstehst die berchnungen, wenn du noch fragen hast, schreib nohc mal, bin jetzt wieder regelmäßig online.

liebe grüße,schöne feiertage
lili

[vogue_0806]

Hey ich danke dir für deine antwort das hat mir echt geholfen
Ich wollte dich nur noch mal fragen wenn ich eine gleichung dritten grades wie hier bekomme wie ich dann die nullstellen bekomme wir haben meistens nur mit 2 gerades gerechnet LG

[lili_6b3b70]

hi,

fein dass dir das weitergeholfen hat

also mit den gleihcungen dritten grades ist es so: es gibt da leider keine lösungsformel. wirds auhc nie geben. entweder du hast einen taschenrechner, der das kann- dann hast du glück. falls das nicht der fall ist, musst du tricksen.

nimm dir noch mal unsere rechnungen her. wenn du bei dieser stelle einsteigst:

(1- x)*(-14- x)*(20-x) + 93 - 93*x = 0

wirst du vielleicht bemerken, dass da hinten zwei mal die zahl 93 vorkommt. die kannst herausheben

(1- x)*(-14- x)*(20-x) + 93*(1 - x) = 0

nun kommt im ersten produkt (1-x) vor, und hinten auch. also kannst du (1-x) herausheben.

(1-x)*[(-14- x)*(20-x) + 93] = 0

wenn du das zeugl in der eckigen klammer nun ausmultiplizierst erhältst du

(1-x)*[x^2 - 6*x -187] = 0

jetzt steht links vom = ein produkt
rechts vom = steht null.

somit gilt der produkt- null- satz:
a*b = 0, wenn entweder a= 0 ist oder b = 0 ist… (naja… wann sind zwei zahlen miteinander multiplizert null… wenn eine der beiden zahlen null ist!)

d.h wenn (1-x) mal [x^2 - 6*x -187] = null sein soll, dann muss

1. entweder (1-x) = 0 sein… wenn ich diese gleihcung auflöse steht dann dort x = 1… das ist die erste lösung
2. oder (x^2 - 6*x -187) = 0… wenn du das mit der lösungsformel für die quadratische gleichung behandelst, dann bekommst du als ergebnisse: x = -11 und x = 17. das sind deine anderen lösungen.

da das ganze ursprünglich eine gleichung dritten grades war, musst du 3 lösungen kriegen. (immer gilt: anzahl der lösungen = grad der gleichung) bist also fertig.

allgemein gilt für dich also: wenn du eine gleichung dritten grades lösen möchtest, ist es hilfreich, diese in ein produkt zu zerlegen, da du dann den produkt-null-satz anwenden kannst und somit ganz schnell fertig bist leider ist das zerlegen manchmal etwas mühsam… es gäbe da noch eine weitere alternative, wie man händisch die lösungen berechnen kann, falls das zerlegen in ein produkt nicht klappt… dazu brauchst du polynomsdivisionen… ich weiss aber nicht, ob du das schon kennst bzw versuch mal rauszubekommen, ob du bei deinem nächsten test überhaupt so was schweres wie eine gleichung dritten grades kriegen kannst??? (was dann eher unwahsrscheinlich ist wenn du die poly.divisionen noch nicht kannst)

ansonsten meld dich halt noch mal, dann erklär ich dir das auch noch!

viel glück und guten rutsch!

lg
lili

[vogue_0806]

Heyyyyyy Ich danke dir ja soooooo sehr du hast mir echt geholfen
Ich habe nun nur noch eine kleine Frage an dich ich habe nun versicht bei dieser aufgabe die eigenvektoren zu berechnen und irgendwie klappt das nicht so wirklich also der erste wert den man bei der gleichung dritten gerades raus hat ist ja 1 und mit der matrix a kombiniert kommt dann doch das raus 0 0 24=0
-8 -15 -19=0
8 15 19=0
und das muss man doch mit gaußverfahren lösen um die vektoren zu bekommen richtig ? also mein problem ist das wenn ich die drei gleichungen kombieniere weill ich ja unten die 3 nullen haben möchte also das dreieck das am ande nur noch nullen da stehen und mein leherer kommt hier aber z.b. auf den vektor -15/8, 1,0
ich komme aber irgendwie nicht auf diese zahlen und gauß ist auch nicht so meins könntest du mir vielleicht zeigen wie man darauf kommt ?
Ich wäre dir wirklich soooooo dankbar )
danke jetzt schon mal und LG

[lili_6b3b70]

hi

na dann auf ein neues!
ich kann gut verstehen, dass du dich beim gaussverfahren aufgehängt hast. die matrix die du oben mal hingeschrieben hast stimmt auf jeden fall shcon mal!

0 0 24
-8 -15 -19
8 15 19

wichtig ist, dass jetzt nicht diese matrix null sein muss, sondern das produkt dieser matrix mit dem eigenvektor. aber den kenn ich ja noch nicht, also sag ich mal der ist (x,y,z)als spaltenvektor geschrieben:

(matrix)*(x,y,z) = (0,0,0)

wenn ich einen vektor mit einer matrix multiplizier, passiert das ja immer zeile*spalte. d.h.

erste zeile(0,0,24)*spalte(x,y,z) => 24*z =0 oder gekürzt z = 0

2.zeile(-8,-15,-19) * spalte(x,y,z) => -8*x -15*y -19*z =0 setze z = 0 ein: -8*x -15*y =0
umgeformt: -8*x = 15*y
3.zeile(8,15,19) * spalte (x,y,z) => 8*x +15*y +19*z =0 ergibt dann ebenfalls -8*x = 15*y

wenn ich jetzt y = 1 wähle, erhalte ich x = -8/15
oder wenn ich y = 8 wähle, erhalte ich x = -15

also wäre ein vektor, der diese bedingungen erfüllt der eigenektor zum eigenwert 1 : (-8/15,1,0) oder aber (-15,8,0) gehen beide- sind ja bloß vielfache voneinander.

ganz ohne gauss

allg kriegst du ja immer ein gleichungssystem, in 3 zeilen und 3 variablen- nämlich x, y und z. das kannst du mit gauss lösen, wenn du den aber ned magst, kannst du auch einfach das gleichungssystem lösen mittels einsetzen/elliminations oder additionsverfahren, funkt genauso!

für den eigenwert -11 kriegst du die matrix
12 0 24
-8 -3 -19
8 15 31

das ergibt in gleichungen:
1.) 12*x + 24*z = 0 -> x = -2*z
2.) -8*x - 3*y - 19*z = 0
3.) 8*x + 15*y + 31*z = 0

ich setze x = -2*z in die gleichungen 2.) und3.) ein:

2.) -8*(-2*z) - 3*y - 19*z = 0
3.) 8*(-2*z) + 15*y + 31*z = 0

2.) 16*z - 3*y - 19*z = 0
3.) -16*z + 15*y + 31*z = 0

2.) - 3*y - 3*z = 0 -> y = -z
3.) + 15*y + 15*z = 0 -> y = -z

also bleibt mir
x = -2*z und y = -z

wenn ich z = 1 wähle erhalte ich x = -2 und y = -1

oder als vektor geschrieben: (-2,-1,1)

du siehst also es geht auch ohne gauss!

und hier schick ich dir noch einen ganz praktischen link, zum kontrollieren deiner ergebnisse:

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/eigenwert…

in den ersten kasten kannst du deine eigne angabe matrix eintippen, im zweiten kasten kriegst du die charakteristische gleichung, die eigenwerte und die eigenvektoren

liebe grüße
lili

[vogue_0806]

oh danke dir gauß war für mich am anfang als wenn man mor was aufchinesisch gibt
ok ich habe nun noch eine frage ich hab das ja verstanden mit dem zusammenfassen mit der gleichung davor aber bei der zweiten gleichung will es einfach nicht klappen ich denke das hängt damit zusammmen, dass die erste gleichung zwei mal 0 beinhaltetet und dadurch etwas einfach weg viel. die zweite gleichung nun lautet aber (3-x)*(2-x)*(5-x)+1 *(1*1)+3*(1*(-2))-3*(2-x)*1-1*(1*(5-x))-(3_x)*(1*(-2)) also ich habe das so versucht wie du es mir erklärt hast aber irgendwie komme ich nicht auf die nullstellen (1,4,5)
also ich hab zu erst die normalen zahlen zusammengefaßt und dann die drei klammern am anfang mulitplieziert und dann alles zusammengefasst. Vielleicht kannst du mir da noch mal helfen

[lili_6b3b70]

hi du schon wieder

(3-x)*(2-x)*(5-x)+1 *(1*1)+3*(1*(-2))-3*(2-x)*1-1*(1*(5-x))-(3_x)*(1*(-2)) = 0

also mal einbissi zamräumen die gleichung

(3-x)*(2-x)*(5-x)+ 1 -6 -3*(2-x)-(5-x)+ 2*(3-x) = 0

die drei klammern vorne sein lassen, den rest ausmultiplizieren:

(3-x)*(2-x)*(5-x)+ 1 -6 -6 +3*x -5 +x +6 -2*x = 0

zamfassen:

(3-x)*(2-x)*(5-x)-10 + 2x = 0

so, und jetzt hebne wir bei demhinteren term so heraus, dass (5-x) stehen bleibt!

(3-x)*(2-x)*(5-x) -2*(5-x) = 0

und jetzt heben wir aus dem ganzen ding (5 - x) heraus:

(5-x) * [(3-x)*(2-x)-2] = 0

jetzt wie gehabt: produkt-null-satz…

1.) (5-x) = 0 -> x = 5
2.) [(3-x)*(2-x)-2] = 0
-> x^2 -5*x +4 = 0
-> lösungsformel ergibt x = 1 oder x = 4

und fertig

die beispiele mit gleichngen dritten grades für leutchen ohne algebraischen taschenrechner sind i.a. so gestaltet, dass man sie lösen kann, wenn man den hinteren teil ausrechnet, und dann halt raushebt, und produkt-null-satz verwendet

lg
lili

[vogue_0806]

Hey lili ich danke dir erst einmal für deine hilf das hat wirklich mal gut getan alles erklärt zu bekommen und dann auch noch so gut
Nun habe ich da noch eine Frage aber nicht zu matritzen hat aber auch was mit mathe zu tun
Es geht um das umstellen und auflösen einer gleichung. Also ich musste eine Gleichung dp/p umstellen und ich bin schon so weit das ich da -g*p/R*T*dz=dp stehen habe nun weiß ich aber leider nicht wie ich p rüberzihen kann weil am ende muss das dann laut lehrer so aus sehen dp/p= -g/R*T *dz also ich verstehe nicht wie ich p so rüberziehe das dann R*T unter einem bruchstrich dann unter g aber steht so das wäre die eine Aufgabe und meine zweite Frage gilt der Trennung von Variablen also ich habe die gleichung dp/p = -a*dz und mein lehrer meinte dass das mit Trennung der Variablen zu lösen sei sodasss am ende dann da steht
ln p = -a*z *c als integrationskonstanze

Es wäreeeee wirklich super lieb wenn du mir das erklären könntest Freu mich schon auf deine Antwort LG

[vogue_0806]

ps das muss am ende bei meiner 2 frage +c als integrationskonstante heißen nicht * c und oben bei der ersten frage steht das R*T unter dem bruch von g und * dz dann daneben LG

[Anonym]

keine Antwort auf Matrix
Hallo vogue 0806

als erstes entschuldige ich mich dafür, dass ich dich total vergessen habe. Das wirst du jedoch selbst gemerkt haben. Auch denke ich, dass sich eine Antwort erübrigt hat. Ich wäre dir auch bestimmt keine Hilfe gewesen. Auch mein Matheverständnis hat Grenzen.

Gruß
Lutz