Mathemathik Klausurrelevant

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo ihr Lieben :smile:
Ich bin mitten in meiner Klausurvorbereitung und habe da einige Fragen bei denen ich einfach nicht weiter kommen. Es geht hierbei um Komplexe Zahlen bei denen ich echt große Probleme habe :frowning:

Beispielaufgaben die ich einfach nicht lösen konnte wären: Bestimmen sie x1 und x2 :
x² + x*i + i/4 also das am ende ist ein bruch und ich habe wirklich keine ahnung wie man so was rechnet es wäre wirklich lieb wenn mir einer von euch in schritten erklären könnte wie das geht und worauf ich dabei zu achten habe.
eine weitere aufgabe wäre : bestimmen sie den betrag von z und den winkel fi z= ( 1/wurzel 2 - i* 1/wurzel 2)³ auch hier habe ich keine ahnung wie man da anfangen soll :frowning: ich würde mich wirklich sehr freuen wenn mir euner helfen könnte :smile:
danke jetzt schon mal und LG

#2

Hallo,
da muss ich leider passen.

#3

Hallo Name?,

bitte erklär mir, was das i bedeuten soll. Damit kann ich nichts anfangen.

Gruß

Lutz

#4

bei dem ersten ist es ja einfach eine quadratische Gleichung => du kannst die Mitternachtsformel (abc-Formel) oder die pq-Formel benutzen:
ich machs jetzt mal mit der Mitternachtsformel
=> 1x² +ix +i/4 => a=1 ; b=i ; c=i/4
einsetzen ergibt:

x1 = [- i + sqrt(i² - i)]/2
x2 = [- i - sqrt(i² - i)]/2

Zu der 2ten Aufgabe:
Um den betrag einer Komplexen Zahl zu bekommen quadriert man die beiden Summanden einfach (nur den Teil in der Klammer ohne ³) und zieh dann die Wurzel daraus (damit das i wegfällt, da i² = -1)

=> |z| = sqrt( [1/sqrt(2)]² - [i/sqrt(2)]² )
=> |z| = sqrt( 1/2 + 1/2 ) = sqrt( 1 ) = 1
=> |z| = 1

nun zum Winkel phi,
den kriegst du indem du man von der allgemeinen Form einer komplexen zahl ausgeht:

z = a+bi

wenn man das ganze nun als Polarform schreibt gilt der Zusammenhang:

a = |z| * cos(phi)
b = |z| * sin(phi)

in deinem angegebenen z ist a= 1/sqrt(2) und b=1/sqrt(2)

da |z| = 1 folgt
a = 1/sqrt(2) = cos(phi)
b = 1/sqrt(2) = sin(phi)

das kann man ganz einfach umformen nach phi,
aber hier sieht man es auch, da a=b=1/sqrt(2) ist phi=45°

#5

Hallo vogue0806,

ich nehme an, bei der ersten Aufgabe sind die Lösungen gemeint, wenn der angegebene Term = 0 ist. Das funktioniert dann wie jede andere quadratische Gleichung:
x² + i x + i/4 = 0
x = -i/2 ± wurzel((i/2)² - i/4)
x = -i/2 ± wurzel (-1/4 - i/4)
x = -i/2 ± 1/2 * wurzel(-1 - i)
x = 1/2 * (-i ± wurzel(-1 - i))

(Siehe auch http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%C2%B2+%2B+i*x… -> Complex roots)

Bei der zweiten Aufgabe bin ich mir nicht sicher, ob du da keine Klammern vergessen hast oder dergleichen. Wenn die Angabe so ist, wie du sie abgeschrieben hast, läuft sie sich auf das hinaus:
((1 - i)/wurzel(2))³
Der Zähler hoch 3 ergibt entsprechend
(a - b)³ = a³ - 3 a² b + 3 a b² - b³
(1 - i)³ =
= 1³ - 3 * 1² * i + 3 * 1 * i² - i³ =
= 1 - 3 i - 3 + i =
= -2 - 2 i =
= -2 * (1 + i)
Der Nenner ergibt
wurzel(2)³ =
= wurzel(2)² * wurzel(2) =
= 2 * wurzel(2)
Damit haben wir insgesamt
-2 * (1 + i) / (2 * wurzel(2)) =
= -(1 + i) / wurzel(2)
Davon wollen wir Betrag und Winkel.
Der Realteil ist -1 / wurzel(2).
Der Imaginärteil ist ebenfalls -1 / wurzel(2).
Den Betrag erhältst du mit Pythagoras:
Betrag = wurzel(Realteil² + Imaginärteil²) =
= wurzel(1/2 + 1/2) =
= wurzel(1) =
= 1
Der Winkel ist der Arcustangens von Imaginär/Real; bei negativem Realteil +180°.
phi = arctan(-1/wurzel(2) / (-1/wurzel(2))) + 180° =
= arctan(1) + 180° =
= 45° + 180° =
= 225°
(oder, was sich auf dasselbe hinausläuft, -135°)
(Siehe auch http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28+1%2Fsqr+2±…)

Ich hoffe, ich konnte helfen.
Gruss SdV

#6

Hi

Die Asymptote ist ja meistens entweder die x bzw. die y-Achse. Beim Zeichnen lässt du die Funktion dem der jeweiligen Achse einfach annähern. Ich verstehe nicht, wieso du bei der Funktion x³/x²-1 eine Polynomdivison durchführst, da das doch x-1 ergibt, außer du hast eine Klammer vergessen. Ansonsten ist das hier finde ich ein gutes Beispiel x³/(x²-1):
http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+x-%3E1+x%C2…
Hier siehst du schön die Asymptote, in diesem Fall müsstest du auch eine Art von der roten gepunkteten Linie mit deinem Lehrer abgemacht haben, wie man diese Asymptote zeichnet. Meiner Meinung nach gibt es hier nicht wirklich eine Asymptote: x²-5x+10. Da die Funktion sich nicht einer „Linie“ annähert.

Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen.

Gruß

Polonium7.2

Viel Glück bei deiner Matheklausur