Mathematik

Wissenschaft Mathematik
#1

Liebe/-r Experte/-in,
Guten Abend,

könnten Sie mir bitte weiterhelfen. Ich bräuchte hilfe bei folgenden Aufgaben:

  1. Unter welchem Winkel schneiden sich die Kurven y=cos(x) und y=sin(2x) im Intervall (0,pi/2) ??

Wie kann ich dies berechnen ??

  1. Die Funktionen -(x^2)/(x+1) , y=-x+1 , und x = u , wobei u>0 , schliessen ein Flächenstück vom Inhalt A(u) ein. Nun soll A(u) bestimmt werden und u so berechnet werden, dass A(u) = 1 …

=> Ich weiss nur dass man hier mit dem Integral arbeiten muss, aber wie??

  1. Wie kann man bein einer Funktion überprüfen , ob sie umkehrbar ist oder nicht?

Ich wäre äusserst froh und dankbar, wenn Sie mir bitte heute noch schreiben könnten. Morgen habe ich eine wichtige Prüfung.

Vielen herzlichen Dank,

Thomas Matter

#2

Vorab:

  1. Wie kann man bein einer Funktion überprüfen , ob sie
    umkehrbar ist oder nicht?

Sie muss (in dem Bereich, der umgekehrt werden soll) streng monoton steigend oder streng monoton fallend sein. Sie darf also kein Extremum besitzen.
Ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente (=Sattelpunkt) wäre gerade noch ok

Gruß JK

#3
  1. Unter welchem Winkel schneiden sich die Kurven y=cos(x)
    und y=sin(2x) im Intervall (0,pi/2) ??

Zunächst gleichsetzen und dadurch das x0 für den Schnittpunkt ermitteln.
Dann beide Funktionen einzeln ableiten.
Jeweils die Steigung bei und y’=cos(x0) y’=sin(2x0) ermitteln.
Mit arctan die beiden Steigungen in Winkel (gegenüber der Waagerechten umrechnen.
Die Differenz (größerer-kleinerer Winkel) ist der Winkel zwischen den Kurven.

JK

#4
  1. Die Funktionen -(x^2)/(x+1) , y=-x+1 , und x = u , wobei
    u>0 , schliessen ein Flächenstück vom Inhalt A(u) ein.

Am besten erst mal eine kleine Wertetabelle (z. B. mt Excel) machen und das Ganze zeichnen.
x = u ist dabei eine senkrechte Linie rechts vom Koordinatenursprung.
Außerdem sieht man, dass -x+1 und -(x^2)/(x+1) die selbe Assymptote haben. Also läuft die Differenz der beiden Funktionen gegen Null.

Nun soll A(u) bestimmt werden

Die Differenz [-x+1] - [-(x^2)/(x+1)] von u bis unendlich integrieren (uneigentliches Integral).

…und u so berechnet werden, dass A(u) = 1 …

Das obige Ergebnis = 1 setzen und somit u ermitteln.

Gruß JoKu

Viele Mathe-Links: http://www.klicktipps.de/mathematik.php

#5

Hallo Thomas,

da ich nicht weiß, ob die runde Klammer bei Euch so erklärt war, dass das Randelement mit zum Intervall gehört (geschlossenes) oder außerhalb des Intervalls liegt (offenes), beantworte ich die 1. Aufgabe mal so, dass die runde Klammer ein geschlossenes Intervall darstellt und somit pi/2 mit dazu gehört. Dann gibt es nämlich zwei Stellen, wo sich die beiden Kurven schneiden.
Der erste Wert liegt bei pi/6 und der zweite Wert bei pi/2. Den ersten Wert erhält man durch Gleichsetzen der beiden Funktionen:
cos x = sin (2x)
cos x = 2*sin x*cos x |: cos x
1 = 2* sin x |:2 und Seitentausch
sin x = 1/2
x1 = arcsin(1/2)
x1 = pi/6
Nun haben wir im Zweiten Schritt die ganze Gleichung durch cos x geteilt. Dividiert man beide Seiten einer Gleichung durch einen Term, der Null werden kann, dann kann es sein, dass man dadurch Lösungen verliert. cos x wird im betrachteten Intervall Null, wenn x = pi/2 ist. Daher muss pi/2 auch noch als mögliche Lösung untersucht werden.
Und siehe da: Auch bei pi/2 schneiden sich beide Kurven, sodass sich eine weitere Lösung mit x2 = pi/2 ergibt. Denn bei x2 = pi/2 gilt: cos (pi/2) = sin(2*pi/2) = 0.

Unter dem Schnittwinkel der beiden Funktionen versteht man dann den Winkel, den die beiden Tangenten in dem Schnittpunkt bilden. Für den Schnittwinkel gibt es eine Formel die lautet: tan(alpha) = (m1-m2)/(1 + m1*m2). Setzt man für m1 = f’(pi/6) und m2 = g’(pi/6) ein, so erhält man für m1 = -0,5 und für m2 = 1. Beim Einsetzen ergibt sich ein Winkel von -71,565 °. Da man für die Schnittwinkel positive Winkel ansetzt, nimmt man den Betrag davon und erhält 71,565 ° als Schnittwinkel.
Ähnlich muss man dann auch bei x2 = pi/2 vorgehen, wobei m1 = f’(pi/2) und m2 = g’(pi/2) ist.
Zum Rest komme ich heute nicht.

Viele Grüße
funnyjonny

#6

Hallo Thomas,

bei der zweiten Aufgabe musst Du erst mal die Schnittpunkte der Funktionen berechnen. Dazu setzen wir erst mal die ersten beiden gleich:
-(x^2)/(x+1)=-x+1 |*(x+1)
-(x^2) = 1 - x^2 |+x^2
0 = 1 Widerspruch
Die Kurven schneiden sich demnach nicht.
Da sich hier kein Schnittpunkt ergibt, kann kein Flächenstück eingeschlossen werden. Von daher vermute ich, dass irgend eine Bedingung fehlt, da hier eine Integrationsgrenze nicht festgelegt werden kann. Bitte mal beim Aufgabensteller nachfragen.
Die dritte Aufgabe löst man in der Regel über vertauschen der Variablen und umstellen der Gleichung nach y. Ergeben sich für den Term Funktionseigenschaften, d.h. wird jedem x eindeutig genau ein y-Wert zugeordnet, dann ist die Ausgangsfunktion umkehrbar.
Beispiel: y = x^2
Variablentausch ergibt:
x = y^2 |Wurzel
y = ± Wurzel aus x mit x>= 0
Diese letzte Zuordnung ist keine Funktion, da jedem positiven x zwei y-Werte, nämlich + Wurzel aus x und - Wurzel aus x zugeordnet werden.

Viele Grüße
funnyjonny