Mathematik - e-Funktion - Zerfallsuntersuchung

Wissenschaft Mathematik
#1

Moin, könnt ihr mir bei folgender Aufgabe helfen?

Die Zerfallsuntersuchung einer Menge der Substanz xA13 liefert folgende Ergebnisse:

-Eine Stunde nach Beobachtung sind noch 100mg der Ausgangsmenge vorhanden
-der Zerfall erfolgt exponentiell
-die Halbwertszeit beträgt 9 Std.

1.2 Erkläre den Begriff Halbwertszeit
1.2 Ermitteln sie die Funktionsgleichung in Form m(t)=ae^kt, die den Zerfall beschreibt. (m(t) in mg, t in Stunden)
1.4 Nach welcher Zeit sind noch 30% der Ausgangssubstanz vorhanden?

Meine Lösung für 1.2 ist folgende:
m(t)=100mg*e^10b ->
m(q)=50 ->
50=100e^10b ->
0,5=100e^10b ->
ln0,5=10b -> b= -0,77 ->
m(t)=100e^-0,077t

Sind überhaupt die 100mg mein a (Streckungsfaktor) denn es heißt in der Aufgabenstellung „Eine Stunde nach Beobachtung“ und der Faktor a gibt ja immer den Beginn an!?

#2

Zunächst ist mir schleierhaft, wie du im Exponenten auf 10b kommst? Was soll b denn sein? Meinst du k? (die 10 kommt wahrscheinlich von 1 + 9 ?)

(Und wie du von ln0,5=10b auf b= -0,77 kommst, verstehe ich übrigens auch nicht - ich bekomme da b = -0,069 raus…)

Und nein, die 100 mg sind nicht dein a, weil das a ja, wie du selbst anmerkst, die Menge zu Beginn (t = 0) ist, nicht 1 Stunde nach Beginn.

Ich würde folgendermaßen ansetzen:
m(1) = a e^(1k) = 100 mg (I)
m(10) = a e^(10k) = 50 mg (II)

Aus diesen beiden Gleichungen kann man a und k bestimmen. (Ergebnis: k = -0,077; a = 108 mg)

(Alternativ kann man auch gleich den allgemeinen Zusammenhang k = ln 0,5 / Halbwertszeit benutzen, falls ihr diese Formel besprochen habt.)

#3

Dank dir :wink:
Könntest du mir jetzt Bitte nur noch mal die Schritte zeigen, wie man auf die Werte „k = -0,077; a = 108 mg“ kommt. Hast du die Gleichungen gleichgesetzt? Danke :smile:

#4

…ohh

D

ich hab’s raus… erst denken, dann schreiben…^^ danke aber :wink:

#5

Moin,

erstmal vermute ich das die Funktion die dieses Zerfall erklären soll lautet:

m(t)=a*e^(-k*t)

Minus deshalb, weil der Zerfall auch irgendwann zuenden sein muss. Wäre das Minus nicht da, dann würde es sich ins unendliche entwickeln.

Ziel ist es nun die Variablen a und k heraus zu bekommen (a ist nicht die 100mg, hat aber auch die Einheit mg). a ist die Masse, die die Substanz hat bei Beginn der Messung. Um a und k zu bestimmen brauchen wir zwei Gleichungen. Die erste erhält man dadurch, dass man weiß, dass nach einer Stunde noch 100 mg hat. Also m(1)=100 und t=1,

100=a*e^(-k)

Gut, hilft erstmal nichts, aber die zweite Gleichung schon eher. Die Halbwertzeit beträgt 9 h, also ist die genau die Hälfte ursprünglichen Menge dieser Substanz nach 9 h zerfallen. Also m(9)=a/2

a/2 = a*e^(-9k) => 1/2 = e^(-9k).

Das kann man bereits nach k umstellen und erhält dann k=0,077016353

Das setzt man in Gleichung eins ein und berechnet a
a= 108,0059739

Also ist die gesuchte Funktion:

m(t)=108,01*e^(-0,077t)

Bei 1.4 muss dann m(t)=0,7*a sein. Also 70 % vom ursprünglichen sind zerfallen.

Liebe Grüße

#6

Hallo, Du musst in die Gleichung m(t)=ae^kt für t die 1 einsetzen, das ist die eine Stunde. Und dann für m(t) die 100, das sind die zugehörigen 100 mg. k und a sind jetzt noch unbekannt. k bekommst Du über die Gleichung k= (ln 2) : Halbwertzeit
Der Rest ist klar.
Gruß von Max

#7

Hallo,

ich würde folgendermaßen ansetzen:

m(t) = a*e^kt

Bekannt sind:
m(1) = 100 (Restsubstanz nach einer Stunde)
m(9) = 0,5a (da 9 Stunden die Halbwertszeit ist).

Damit kann man zwei Gleichungen aufstellen, da dann lauten:
100 = a*e^k (1)
0,5a = a*e^9k (2)

Mit Hilfe dieser zwei Gleichungen kann man a und k ausrechnen. Z.B. ergibt sich aus (1) nach a umgestellt:

a = 100/(e^k) (3)

Dies in (2) eingesetzt führt zu k = (1/9)*ln 0,5 = -0,077. Setzt man nun dieses k in (3) an, so erhält man für a =100/e^-0,077 = 108.
Somit ergibt sich die Gleichung
m(t) = 108*e^-0,077t .

Will man nun wissen, nach wieviel Stunden noch 30 % der Strahlung vorhanden sind, so setzt man m(t) = (108/100)*30 und löst nach t auf.
Es ergibt sich:
t = 15,64 Stunden.

Viele Grüße
funnyjonny

#8

Oder…
Ich habe doch ein Fehler in meiner Rechnung. Wärst du so nett und schreibst die einzelne Schritte nochmal auf? Danke im voraus :smile:

#9

Guten Tag,

leider ist das so lange her, dass ich nicht sicher helfen kann. Ich gebe aber zu bedenken, dass 100mg nicht die Anfangsmenge sind, sondern die, die nach 1 Stunde noch übrig ist.
Ich denke man müsste über die halbwertszeit und über die Tatsache, dass nach 1 Stunde noch 100mg da sind erstmal die Anfangsmenge ermitteln, und dann den Wert für den noch 30% der Ausgangsmenge da sind
Also wenn ichs richtig verstanden habe:

100mg = a*e^1k und
a/2 = a*e^9k

Daraus müsste man a ermitteln können und dann

0,3a= a*e^xk

ich weiß aber leider nicht mehr was k ist :wink:

Ich hoffe, ich konnte weiterhelfen,

Herzliche Grüße

C.J.

#10

Hi Pascal,

du zweifelst zurecht an deiner Lösung. 100 ist die Lösung von m(1), also die Masse nach einer Stunde.
Das liefert dir „m(1)=a*e^k=100“.

Halbwertszeit = 9 Stunden heißt, dass nach 9 Stunden noch die Hälfte des Anfangswertes übrig ist. Die Anfangsmasse ist a, die Hälfte davon also a/2. Insgesamt hast du dann „m(9)=a*e^(9k)=a/2“.

Das sind 2 Gleichungen in 2 Unbekannten (nämlich a und k), also ein eindeutig lösbares Gleichungssystem.

Liebe Grüße!

#11

Ich kann dir leider nicht helfen, tut mir leid!

#12

Die Zerfallsuntersuchung einer Menge der Substanz xA13 liefert
folgende Ergebnisse:

-Eine Stunde nach Beobachtung sind noch 100mg der
Ausgangsmenge vorhanden
-der Zerfall erfolgt exponentiell
-die Halbwertszeit beträgt 9 Std.

1.2 Erkläre den Begriff Halbwertszeit
1.2 Ermitteln sie die Funktionsgleichung in Form m(t)=ae^kt,
die den Zerfall beschreibt. (m(t) in mg, t in Stunden)
1.4 Nach welcher Zeit sind noch 30% der Ausgangssubstanz
vorhanden?

Lösung:

(I) a/2 = a * e^9b (wg T ½) => b = - ln(2)/9 => b = -0,077 [h^-1]
(II) 100 = a * e^b (wg t = 1 h) => a = 100/[e^(- ln(2)/9] => a = 108 [mg]

Die gesuchte Funktion lautet also: m(t)=108*e^-0,077t [mg]

Probe: m(1)=108*e^-0,077 = 99,996, also etwa 100 mg und neun Stunden später: m(10)=108*e^-0,77 = 50,005, also etwa die Hälfte.

mfrG

#13

Zu 1.2:
Ansatz: m(t)=a*e^(k*t);  m=Menge in mg; t=Zeit in Std.; k

#14

ausführlicher…
'tschuldige, ich war den ganzen Tag unterwegs…

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Gleichungen zu lösen. Naheliegend: Gleichung (I) nach a auflösen, also
a = 100 mg / e^(1k) = 100 mg * e^(-k)

Dann in (II) einsetzen:
100 mg * e^(-k) * e^(10k) = 50 mg
e^(9k) = 0,5
Rest sollte klar sein… k = -0,077

Dann oben einsetzen: a = 100 mg * e^(-0,077) = 108 mg.

Schneller geht’s so:
(II) : (I) ergibt direkt e^(9k) = 0,5.

#15

Schönen guten Morgen!

Im Grunde reicht ^die eine Formel, die Du schon hast:
m(t)=m(0)*e^(-k*t)

Die Frage, ob a der Streckungsfaktor ist, ist sehr gut. Denn die 100mg sind es nicht. Wie Du schon richtig bemerkt hast, sind die 100mg erst nach 1 Std. vorhanden.

Somit hast Du zwei Variablen, die Du rausbekommen musst. Aber zum Glück hast Du auch zwei Formeln:

m(1)= 100mg = m(0)*e^(-k*1) … die Menge nach 1 Std.
m(9)= m(0)/2 = m(0)*e^(-k*9) … die Menge nach 9 Std.

Aus der zweiten Gleichung kannst Du Dir gleich mal k ausrechnen und damit dann in der ersten Gleichung die Ausgangsmasse.

Für 30% einfach die Ausgangsgleichung mit den ermittelten Parameter analog zur 2. Gleichung vorgehen und ausrechnen.

Und wenn Du dann etwas in der Nähe von 15 Std 37 Min und guten 58 Sek rausbekommst, dann dürftest Du den richtigen Weg beschritten haben :wink:

Bei Deinem Lösungsansatz sind folgende Punkte falsch: 100mg sind eben nicht die Ausgangsmasse und 10 im Exponenten ist nicht der richtige Faktor.
Deine Gleichung würde stimmen, wenn Du 100mg als Ausgangsmasse hättest und eine Halbwertszeit von 10 Tagen, die Du dann nach 10 Tagen betrachtest.

Viel Erfolg

#16

Lieber Pascal,

es tut mir leid, aber zur Zeit bin ich mit anderen Dingen ausgelastet. Ich hoffe, jemand anderes kann Dir behilflich sein.

Beste Grüße,

Klaus

#17

Hallo,
deine Schritte sind z. T. nicht nachvollziehbar. Aus ln0,5 = 10b folgt z. B. b = -0,0693 (nicht -0,077).
Hier mein Weg:
m(9)= a*e^(9k) = 0,5*a =>
ln0,5 = 9k, k = -0,077, also
m(t) = a * e^(^-0,077t) und nun erst:
m(1) = 100 = a*e^(-0,077) =>
a = 108,006 und somit endgültig
m(t) = 108,006 * e^(-0,077t).
„Probe“: m(9) = 108,006 * 0,5000… = 54,003 (also die Hälfte der Ausgangssubstanz)
1.4 ergibt dann 15,636 Stunden.
Deine Zweifel zu 100 mg für a waren also berechtigt.
Viele Grüße
Retep47

#18

Moin.

Du musst die Voraussetzungen schon korrekt umsetzen. Wie Du schon korrekt festgestellt hast, käme bei Dir zum Zeitpunkt t=0 100mg heraus, was so nicht korrekt ist. Daher musst Du die Gleichung so aufstellen, dass zum Zeitpunkt t=1 100mg als Ergebnis erscheint.