Ich habe ein Problem mit einer Extremalwertaufgabe, die ich als Hausaufgabe lösen soll. Ich habe mich schon seit einer guten Stunde an der Aufgabe versucht, aber ich komme nicht weiter.
Die Aufgabenstellung lautet:
Es sei eine reelle Zahl mit 0
Hallo Max,
das sieht alles sehr gut aus. Nun hast du eine Gleichung dritten Grades, aber eine ohne einen konstanten Summanden. Das bedeutet, du kannst u ausklammern. Nachdem was du bisher geschrieben hast schätze ich, dass dir das schon als Tip reicht. Wenn nicht, melde dich einfach nochmal.
Viel Erfolg!
hendrik
Vielen Dank, das hat mir sehr geholfen, ich denke ich weiß jetzt was zu tun ist. Weil ich noch einen Tag Zeit habe, werde ich das aber erst morgen zu Ende rechnen und jetzt lieber ins Bett gehen. Ggf. melde ich mich dann nochmal.
Hallo Max,
Dein Ansatz ist richtig.
Du darfst nur dazwischen nicht ausmultiplzieren sondern musst schauen, dass Du in weitere Faktoren aufspaltest. Wenn Du das hast, nimmst Du du die 1. Ableitung der Zielfunktion und kriegst Deine Ergebnisse.
Wenn Du magst: Mail mir Deine @Adresse an [email protected]
Ich schick Dir morgen die Schritte zur Lösung (u=4/3 wenn ich richtig gerechnet habe). liebe Grüße! Ulrich
Lieber Herr Fragesteller,
ich habe Ihre Umformungen nicht kontrolliert, aber Ihr Weg ist richtig.
Die Nullstellen der Ableitung zu berechnen ist einfach: Klammern Sie u aus und Sie erhalten eine quadratische Gleichung, die Sie mit Hilfe der pq-Formel lösen können:
A’(u) = (1/6)u^3-u^2+(4/3)u = u((1/6)u^2-u+(4/3)) = 0
Für u 0 können Sie durch u teilen und erhalten:
(1/6)u^2-u+(4/3) = 0
Das lösen Sie mit der pq-Formel.
Mit freundlichen Grüßen
Thomas Klingbeil
Hallo blankensteiner,
alles gut bis zum Schluss. Hab’s jetzt im Detail nicht nachgerechnet, aber der Ansatz ist genau richtig. Weiter geht’s jetzt damit, die Nullstellen des letzten Terms zu finden. Dein Problem ist die hoch 3, nehme ich an. Aber genaues Hinschauen hilft hier weiter:
Aus
(1/6)u^3-u^2+(4/3)u
lässt sich ein u wieder wunderbar ausklammern. Und dann gilt folgende Regel: Ein Produkt ist genau dann gleich Null, wenn (mindestens) einer der Faktoren gleich Null ist.
Aus
0 = (1/6)u^3-u^2+(4/3)u
folgt also
u = 0, oder
(1/6)u^2-u+(4/3) = 0
Letztere ist eine quadratische Gleichung, für die du etwa zwei bis vier Lösungsmöglichkeiten kennen solltest. Insgesamt gibt es dann drei Nullstellen, also drei mögliche Extramwerte für die Dreiecksfläche. Die müssen dann, wie üblich, mit Hilfe der zweiten Ableitung überprüft werden.
Ich hoffe, das hilft dir weiter.
Viel Erfolg weiterhin,
Sebastian
Hallo Max,
Du hast alles richtig gemacht!
Wir können also gleich mit Deiner letzten Gleichung anfangen:
(1/6) u^3 - u^2 + (4/3)u = 0
Bei Gleichungen 3. Grades empfehle ich Dir, immer die folgenden Wege zu probieren: 1) die Variable ausklammern 2) eine Lösung x1 erraten und (x-x1) ausklammern.
Hier funktioniert die erste Variante, also
u*(1/6 u^2 - u + 4/3) = 0.
Das Produkt auf der linken Seite wird genau dann 0, wenn einer der beiden Faktoren gleich 0 ist, also
u = 0 (entfällt als Lösung wegen 0 kleiner u kleiner 4)oder die Klammer gleich 0, also
1/6 u^2 - u + 4/3 = 0
diese quadratische Gleichung kannst Du mit der bekannten Lösungsformel lösen, ich erhalte die beiden Werte u2 = 4 (entfällt, s.o.) und u3 = 2.
Diesen Wert setzt Du für u in die zweite Ableitung Deiner Flächenfunktion A(u) ein, ich erhalte - 2/3 und damit hat A(u) dort ein relatives Maximum.
Den Flächeninhalt errechnest Du, undem Du A(2) ausrechnest, ich bekomme den Wert 2/3.
Falls noch Fragen sind, melde Dich ungeniert noch einmal.
Gruß
Jobie
Hallo,
die Rechnung war vollkommen korrekt. Leider ist es so, dass das Einfache häufig nicht so schnell zu sehen ist. Denn: In der Gleichung
1/6 u^3 - u^2 + 4/3 u = 0
lässt sich ein u oder direkt 1/6 u ausklammern. Somit:
1/6 u (u^2 - 6 u + 8) = 0
Damit ergeben sich drei Lösungen:
u1 = 0
u2 = 2
u3 = 4
Die letzten beiden Lösungen ergeben sich aus dem Nullsetzen des quadratischen Terms u^2-6u+8 z.B. mithilfe der p-q-Formel.
Da nur der Wert 2 die Ausgangsbedingung 0
Bisher alles richtig! Der Rest ist leicht:
In 0 = (1/6)u^3-u^2+(4/3)u erstens u oder gleich u/6 ausklammern, dann hast du
1/6*u*(u^2-6*u+8)=0 mit den drei Lösungen 0;2;4.
Dann halt über A’’(u) weiter prüfen.
Gruß W.
Unter der Voraussetzung, dass der Ansatz richtig ist (was mir auf den ersten Blick möglich erscheint), kann man die x^3 Gleichung wie folgt lösen:
0 = u (1/6 u^2 - u + 4/3)
und ein Produkt ist Null, wenn einer der Faktoren Null ist, also entweder u=0
oder den Teil in der Klammer = 0 setzen, dann mal 6 nehmen…
0 = u^2 -6u + 8
pq Formel:
u1/2 = - -6/2 + sqrt (3^2-8)
also u1 = 3+1= 4 oder u2=3-1 = 2,
also Lösungen sind 0, 2 oder 4…
Hi,
du liegst genau richtig.
du musst die Gleichung nach 0 auflösen.
Klammere dazu u aus!
Dann hast du ein Produkt c* (…) = 0
das ist bekanntlich bei 0 Null oder wenn die Klammer Null ist. Ist aber keine Lösung, da n0 nicht erlaubt ist.
Die Klammer löst du mit der Mitternachtsformel auf
Das liefert u1 = 4 und u2 = 2.
Da 4 nicht erlaubt ist bleibt nur 2.
Fertig
Gruß Frank
Hallo Max,
Deine Rechnung ist genau richtig, Du braucht bloß noch erkennen, dass Du in Deiner letzten Gleichung u ausklammern kannst:
(1/6)u^3-u^2+(4/3)u = (u^2 - 6u + 8)*u/6 = (u-2)*(u-4)*u/6
Davon die Nullstelle in 0
Hallo,
bis zu diesem Punkt ist die Rechnung meiner Meinung nach richtig.
Dann kann man das u ausklammern:
u*((1/6)*u-u+4/3)
Ein Produkt ist genau dann Null, wenn mindestens eines der beiden Faktoren 0 ist.
Also entweder für u=0 (durch NB ausgeschlossen) oder wenn (1/6)*u-u+4/3 = 0.
Diese Gleichung kann man dann mit der Mitternachtsformel / Formel für quadratische Gleichungen lösen.
Hier kommen dann zwei Zahlen heraus, von denen durch die NB wieder eine entfällt und man eine eindeutige Lösung erhält (u=2).
Viele Grüße und schönes WE
Ich habe Deine Rechnung nicht nachgeprüft, aber wenn Du die letzte Gleichung durch u kürzt (u 0), dann erhältst Du
0 = (1/6)u^2-a+(4/3).
Wenn Du diese Gleichung noch durch 1/6 kürzt, kannst Du mit der p-q-Gleichung weiterkommen.
Hallo Ulrich, vielen Dank für deine Bemühungen, ich konnte die Aufgabe lösen 
Vielen Dank für ihre Hilfe, damit konnte ich die Aufgabe lösen
Vielen Dank für deine Hilfe, damit konnte ich die Aufgabe lösen
Vielen Dank für deine Hilfe!
Ja, das hat mir sehr geholfen, vielen Dank
Vielen Dank, hat sehr geholfen