kann mir Jemand helfen die folgende Aufgabe zu lösen:
Die Wassertemperatur einer Zentralheizung richtet sich nach der Außentemperatur.
Eine elektronische Steuerung sorgt dafür,dass die Funktion
Außentemperatur (Pfeil nach rechts) Wassertemperatur linear ist. Die Heizung ist so eingestellt, dass bei einer Außentemperatur von -20 Grad die Wassertemperatur 70 Grad beträgt; bei einer Außentemperatur von 10 Grad beträgt die Wassertemperatur 40 Grad.
a) Die Außentemperatur beträgt 0 Grad; wie hoch ist die Wassertemperatur ?
b) Die Wassertemperatur beträgt 35 Grad;wie hoch sit die Außentemperatur ?
Wie du schon selbst sagst: hier braucht man eine lineare Funktion, also y = mx + t, wobei x für die Außentemperatur und y für die Wassertemperatur steht. Gegeben sind zwei Punkte, die auf dem Graphen dieser Funktion liegen: (-20|70) und (10|40).
Wie man eine lineare Funktion zu zwei gegebenen Punkten aufstellt, solltest du wissen, ich gebe nur das Ergebnis an: y = -x + 50.
Mit dieser Gleichung sollten die Fragen (a) und (b) nun leicht lösbar sein. (wieder nur die Ergebnisse: (a) 50, (b) 15)
das riecht sehr nach Hausaufgabe. Und ohne Darlegung des eigenen Lösungsansatzes bzw. Überlegungen wird dir erst recht keiner einfach so die Lösung hinschreiben, da es nicht Zweck der Übung ist.
Zeige deine bisherigen Ansätze und versuch dir klar zu werden, wie die gegebenen Zahlen zusammenhängen können. Auf welche Lösungsmethode läuft es hinaus?
Den Schubs in die richtige Richtung hast du dir in deiner Betreffzeile selbst gegeben.
Hallo,
da die Funktion linear ist, muss die Gleichung einer linearen Funktion bestimmt werden. Allgemein lautet diese: f(x) = m*x + b.
Auf Dein Problem übertragen ergibt sich f(-20) = 70 und f(10) = 40.
Wenn man das in die Funktionsgleichung einsetzt ergeben sich zwei Gleichungen:
70 = m*(-20) + b (I)
40 = m*(10) + b (II).
Dieses lineare Gleichungssystem kann man nun nach den bekannten Methoden lösen. Hier bietet es sich an, die zwei Gleichungen voneinander abzuziehen, da dann das b wegfällt:
(I)-(II): 30 = -30m
Daraus folgt dann: m = -1.
Diesen Wert setzt Du in (I) oder (II) ein und löst die Gleichung nach b auf.
m in (I): 70 = 20 + b
Daraus folgt dann: b = 50.
Damit hast Du die lineare Funktion f(x) = -x + 50
a) Damit kannst Du dann die Wassertemperatur (f(x)) für eine Außentemperatur x = 0 Grad ausrechnen, indem Du f(0) berechnest:
f(0) = -0 + 50 = 50
b) In der zweiten Aufgabe ist der Weg genau umgekehrt, da hier f(x) = 35 gegeben ist und das x gesucht wird. Es ergibt sich die folgende Gleichung:
35 = -x + 50
Nach x umgestellt ergibt sich x = 15. Wenn die Wassertemperatur 35 Grad beträgt, ist die Außentemperatur 15 Grad.
Die beiden Werte verhalten sich entgegengesetzt zu einander - man spricht hier von „Antiproportionalität“.
Außentemperatur -> Wassertemperatur
-20 -> 70
10 -> 40
Sprich, die Außentemperatur geht um 30 Grad hoch, die Wassertemperatur um 30 Grad herunter, der Zusammenhang ist also „-1“.
Dementsprechend:
a) Außen 0: (Veränderung Außen vom Ausgangswert -20: 20) -> Wasser 70-20 = 50.
b) Wasser 35: (Veränderung Wassser vom Ausgangswert 70: -35) Außen: -20+35 = 15.
Hallo,
es ist eine lineare Funktion gefragt, also eine Gerade mit der Gleichung
y = m*x + b, m ist die Steigung, b der y-Achsenabschnitt
Du hast zwei Punkte, P(-20;70)und Q(10;40),
deren Koordinaten Du für x und y in die o.a. Gleichung einsetzen kannst.
Ich erhalte y = -x + 50
und damit kannst Du a) und b) sehr einfach beantworten.
Gruß
Jobie
AW:
Außentemperatur a; Wassertemperatur W.
Ansatz W(a)=m*a+n. Es ist bekannt:
(1) W(-20)= -20*m+n=70; (2) W(10)= m*10+n=40 ;
(2)-(1): 30*m=-30, also m=-1; Einsetzen in z.B. (2): -10+n = 40; n=50.
Jetzt hat man die Funktionsgleichung W(a)= -a+50 und kann die Aufgaben a) und b) lösen.
Gruß Walter
Hallo.
ist x die Außentemp und y=f(x) die Wassertemp., so geht es also darum, die Glichung der Linearen Funktion aufzustellen, deren Graph durch di Punkte P(-20/70) und Q(10/40) verläuft.Hierzu gibt es viele Methoden - irgendeine werdet Ihr ja im Unterricht gehabt haben.
Man erhält jedenfalls y= - x + 50
zu a) x=0 einsetzen liefert die Wassertemperatur y=50 Grad
zu b)für y ist die 35 einzusetzen,das liefert die Außentemperatur x=15 Grad
Eine elektronische Steuerung sorgt dafür,dass die Funktion
Außentemperatur (Pfeil nach rechts) Wassertemperatur linear
ist.
D.H. es muss eine Geradenfunktion ermittelt werden.
Die angegebenen Temperaturpaare sind die beiden Punkte die auf der zu ermittelnden Geraden liegen.
Außentemp = X-Achse//Wassertemp = Y-Achse
Steigung m der Geraden; (Y1-Y2)/(X1-X2)
Berechnete Steigung und ein Wertepaar in Geradengleichung einsetzen und damit b berechnen.
Aufgabe a Wert als X in Gleichung einsetzen und ausrechnen.
Aufgabe b Wert als Y in die Gleichung einsetzen und ausrechnen.
um diese Fragen zu beantworten benötigen wir die Formelgleichung einer linearen Funktion und die ist wie der name sagt eine Gerade, also genügen uns zwei Punkte (oder Angaben) um die aufzustellen. Diese sind im Text gegeben.
Also wir suchen:
y=m*x+n,
wobei y die Wassertemperatur ist und x Außentemperatur. Wir suchen dann m und n und stellen dafür zwei Gleichungen auf.
(I) 70 = m*(-20)+n
(II) 40 = m*10+n
Das ist ein lineares Gleichungssystem 2. Ordnung und das lösen wir indem wir die (II) Gleichung von der ersten abziehen
(I)-(II) 30=m*(-30)
Vorteil: n subtrahiert sich weg. Es folgt:
m= -1,
durch einsetzen und umstelen in (I) oder (II) erhält man n= 50. Also lautet unsere gesuchte lineare Funktion:
Das ist eine Verhältnisrechnung. A verhält sich zu B, wie C zu D.
Steigt die Außenthemperatur um 30 Grad (-20 zu 10), so sinkt die Heizungsthemperatur um 30 Grad (70 zu 40).
Also quasi ein Grd da mehr, wenn ein Grad dort weniger.
Zuegeben; in deinem Alter ist mir Interpolieren auch schwer gefallen.
y1 = 70 ; y2 = 40 ( 1a )
Die Wassertemperatur nenne ich y, die Außentemperatur x .
x1 = ( - 20 ) ; x2 = 10 ( 1b )
Du musst jetzt den " Differenzenquotienten " m bilden, also die Steigung
y2 - y1
-------- = m = ( 2a )
x2 - x1
40 - 70
---------- = ( 2b )
10 + 20
4 - 7
------ = ( - 3/3 ) = ( - 1 ) ( 2c )
1 + 2
Das Pluszeichen im Nenner von ( 2b ) hängt damit zusammen, wie man negative Zahlen subtrahiert ( Thermometer; kannst du doch ! ) Ferner ist VOR dem zusammen Fassen zu kürzen ( Schritt von ( 2b ) auf ( 2c ) )
Pro Grad Erwärmung sinkt die Wassertemperatur auch um ein Grad; mach doch gleich mal die Probe an Hand von ( 1ab )
Es gibt jetzt zwei Möglichkeiten - die eine und die andere.
0 ° sind 20 ° hoch gerechnet von ( - 20 ) Also musst du auch 20 von 70 abziehen; 70 - 20 = 50.
Oder du rechnest 10 ° runter von 10 ° C , 40 + 10 ist auch 50 .
Es gibt aber ein praktisches Empfinden für geschicktes Rechnen - bei Teilaufgabe b) meine ich. Wenn du wissen willst, wann das Wasser 35 ° C heiß ist, rechnest du natürlich 5 von 40 runter und nicht 35 von 70 . Bei 40 ° Wassertemperatur hatten wir draßen gesagt, draußen ist es 10 Grad. Also noch 5 zuzählen = 15 °
