Mathematik Lineare Funktionen Textaufgabe benötig

Wissenschaft Mathematik
#1

Guten Abend,

kann mir Jemand helfen die folgende Aufgabe zu lösen:

Die Wassertemperatur einer Zentralheizung richtet sich nach der Außentemperatur.
Eine elektronische Steuerung sorgt dafür,dass die Funktion
Außentemperatur (Pfeil nach rechts) Wassertemperatur linear ist. Die Heizung ist so eingestellt, dass bei einer Außentemperatur von -20 Grad die Wassertemperatur 70 Grad beträgt; bei einer Außentemperatur von 10 Grad beträgt die Wassertemperatur 40 Grad.

a) Die Außentemperatur beträgt 0 Grad; wie hoch ist die Wassertemperatur ?

b) Die Wassertemperatur beträgt 35 Grad;wie hoch sit die Außentemperatur ?

#2

Wie du schon selbst sagst: hier braucht man eine lineare Funktion, also y = mx + t, wobei x für die Außentemperatur und y für die Wassertemperatur steht. Gegeben sind zwei Punkte, die auf dem Graphen dieser Funktion liegen: (-20|70) und (10|40).

Wie man eine lineare Funktion zu zwei gegebenen Punkten aufstellt, solltest du wissen, ich gebe nur das Ergebnis an: y = -x + 50.

Mit dieser Gleichung sollten die Fragen (a) und (b) nun leicht lösbar sein. (wieder nur die Ergebnisse: (a) 50, (b) 15)

#3

Hallo,

das riecht sehr nach Hausaufgabe. Und ohne Darlegung des eigenen Lösungsansatzes bzw. Überlegungen wird dir erst recht keiner einfach so die Lösung hinschreiben, da es nicht Zweck der Übung ist. :wink:

Zeige deine bisherigen Ansätze und versuch dir klar zu werden, wie die gegebenen Zahlen zusammenhängen können. Auf welche Lösungsmethode läuft es hinaus?
Den Schubs in die richtige Richtung hast du dir in deiner Betreffzeile selbst gegeben.

Gruß,
Andreas

#4

Also zum Lösen der Aufgabe muss man erst einmal die Funktionsgleichung aufstellen.

Lineare Funktionen haben die Form:

f(x)=a*x+b

wobei a und b zwei zu bestimmmende Koeffizienten sind.
a ist die sogenannte Steigung und b der Y-Achsenabschnitt.

Bestimme also zunächst die Steigung:
Seien P1(x_1,y_1) und P2(x_2,y_2) zwei Punkte der Funktion

a=(y_2-y_1)/(x_2-x_1)

Für das Beispiel nimmt man die Punkte A(-20,70) und B(10,40). Das ergibt dann für die Steigung:
a=(40-70)/(10-(-20))=-30/30=-1

Bestimme nun b. (den Y-Achsenabschnitt)
Dazu löst man die Gleichung, die entsteht wenn man einen der beiden punkte einsetzt. (Hier B)

40 = -1*10 + b
50 = b

Also ergibt das:

T_wasser = - T_aussen + 50

nun kann man die Teilaufgaben leicht lösen:

a) T_wasser = -0 + 50 = 50

b) 35 = -T_aussen + 50
und nach umformen:
T_aussen = 15

Ich hoffe ich hab geholfen.

#5

Hallo,
klar, ich helf dir gern, wie weit kommst du alleine und wobei genau brazuchst du Hilfe?
Grüße,
Fabi123

#6

a)Wassertemperatur 50°
b)Außentemperatur 15°

#7

y=mx+b
x - Außentemp. y - Wassertemp.
Bedingungen:
f(-20) = 70
f(10) 0 40
In die lineare Funktion einsetzen:

I. 70 = -20m + b
II. 40 = 10m + b

I. - II. ergibt m = -1
in die II. einsetzen ergibt b = 50
Gleichung:
y = -x + 50

Frage a)
y = 0 + 50 = 50

Frage b)
35 = -x + 50
x = 15

#8

Hallo,
da die Funktion linear ist, muss die Gleichung einer linearen Funktion bestimmt werden. Allgemein lautet diese: f(x) = m*x + b.
Auf Dein Problem übertragen ergibt sich f(-20) = 70 und f(10) = 40.
Wenn man das in die Funktionsgleichung einsetzt ergeben sich zwei Gleichungen:
70 = m*(-20) + b (I)
40 = m*(10) + b (II).
Dieses lineare Gleichungssystem kann man nun nach den bekannten Methoden lösen. Hier bietet es sich an, die zwei Gleichungen voneinander abzuziehen, da dann das b wegfällt:
(I)-(II): 30 = -30m
Daraus folgt dann: m = -1.
Diesen Wert setzt Du in (I) oder (II) ein und löst die Gleichung nach b auf.
m in (I): 70 = 20 + b
Daraus folgt dann: b = 50.
Damit hast Du die lineare Funktion f(x) = -x + 50
a) Damit kannst Du dann die Wassertemperatur (f(x)) für eine Außentemperatur x = 0 Grad ausrechnen, indem Du f(0) berechnest:
f(0) = -0 + 50 = 50
b) In der zweiten Aufgabe ist der Weg genau umgekehrt, da hier f(x) = 35 gegeben ist und das x gesucht wird. Es ergibt sich die folgende Gleichung:
35 = -x + 50
Nach x umgestellt ergibt sich x = 15. Wenn die Wassertemperatur 35 Grad beträgt, ist die Außentemperatur 15 Grad.

Mit freundlichen Grüßen
funnyjonny

#9

Hallo.

Die beiden Werte verhalten sich entgegengesetzt zu einander - man spricht hier von „Antiproportionalität“.
Außentemperatur -> Wassertemperatur
-20 -> 70
10 -> 40
Sprich, die Außentemperatur geht um 30 Grad hoch, die Wassertemperatur um 30 Grad herunter, der Zusammenhang ist also „-1“.

Dementsprechend:
a) Außen 0: (Veränderung Außen vom Ausgangswert -20: 20) -> Wasser 70-20 = 50.
b) Wasser 35: (Veränderung Wassser vom Ausgangswert 70: -35) Außen: -20+35 = 15.

Viele Grüße.

#10

Hallo,
es ist eine lineare Funktion gefragt, also eine Gerade mit der Gleichung
y = m*x + b, m ist die Steigung, b der y-Achsenabschnitt
Du hast zwei Punkte, P(-20;70)und Q(10;40),
deren Koordinaten Du für x und y in die o.a. Gleichung einsetzen kannst.
Ich erhalte y = -x + 50
und damit kannst Du a) und b) sehr einfach beantworten.
Gruß
Jobie

#11

Wassertemperatur = 30 Grad minus Außentemperatur

#12

AW:
Außentemperatur  a;   Wassertemperatur  W.
Ansatz W(a)=m*a+n. Es ist bekannt:
(1) W(-20)=  -20*m+n=70; (2) W(10)=  m*10+n=40 ;
(2)-(1):    30*m=-30, also m=-1; Einsetzen in z.B. (2): -10+n = 40;  n=50.
Jetzt hat man die Funktionsgleichung   W(a)= -a+50 und kann die Aufgaben a) und b) lösen.
Gruß Walter

#13

Hallo.
ist x die Außentemp und y=f(x) die Wassertemp., so geht es also darum, die Glichung der Linearen Funktion aufzustellen, deren Graph durch di Punkte P(-20/70) und Q(10/40) verläuft.Hierzu gibt es viele Methoden - irgendeine werdet Ihr ja im Unterricht gehabt haben.
Man erhält jedenfalls y= - x + 50
zu a) x=0 einsetzen liefert die Wassertemperatur y=50 Grad
zu b)für y ist die 35 einzusetzen,das liefert die Außentemperatur x=15 Grad

Gruß von Max

#14

Eine elektronische Steuerung sorgt dafür,dass die Funktion
Außentemperatur (Pfeil nach rechts) Wassertemperatur linear
ist.

D.H. es muss eine Geradenfunktion ermittelt werden.

Die angegebenen Temperaturpaare sind die beiden Punkte die auf der zu ermittelnden Geraden liegen.
Außentemp = X-Achse//Wassertemp = Y-Achse
Steigung m der Geraden; (Y1-Y2)/(X1-X2)
Berechnete Steigung und ein Wertepaar in Geradengleichung einsetzen und damit b berechnen.

Aufgabe a Wert als X in Gleichung einsetzen und ausrechnen.
Aufgabe b Wert als Y in die Gleichung einsetzen und ausrechnen.

m=-1;b=50;a) 50°C;b) 15°C

#15

du hast 2 Punkte gegen, die auf der Geraden (Lineare Fkt) liegen. Damit solltest du die Gerade aufstellen können.
also: y=mx+t

  1. Berechne aus den Punkten die Steigung m.
  2. Punkt in Gleichung einsetzen udn so bekommst du die Parameter m und t.

Dann kannst du durch einsetzen der Werte die dazugehörigen gesuchten Werte ausrechnen.
Viel Spaß
Frank

#16

Moin,

um diese Fragen zu beantworten benötigen wir die Formelgleichung einer linearen Funktion und die ist wie der name sagt eine Gerade, also genügen uns zwei Punkte (oder Angaben) um die aufzustellen. Diese sind im Text gegeben.
Also wir suchen:

y=m*x+n,

wobei y die Wassertemperatur ist und x Außentemperatur. Wir suchen dann m und n und stellen dafür zwei Gleichungen auf.

(I) 70 = m*(-20)+n
(II) 40 = m*10+n

Das ist ein lineares Gleichungssystem 2. Ordnung und das lösen wir indem wir die (II) Gleichung von der ersten abziehen

(I)-(II) 30=m*(-30)

Vorteil: n subtrahiert sich weg. Es folgt:

m= -1,

durch einsetzen und umstelen in (I) oder (II) erhält man n= 50. Also lautet unsere gesuchte lineare Funktion:

y=-x+50.

Somit können wir a) und b) lösen:

a) 50
b) 15

Grüße

#17

Hallo,

Das ist eine Verhältnisrechnung. A verhält sich zu B, wie C zu D.
Steigt die Außenthemperatur um 30 Grad (-20 zu 10), so sinkt die Heizungsthemperatur um 30 Grad (70 zu 40).
Also quasi ein Grd da mehr, wenn ein Grad dort weniger.

Den Rest kann man Ablesen…

Gruß

#18

Zuegeben; in deinem Alter ist mir Interpolieren auch schwer gefallen.

y1 = 70 ; y2 = 40 ( 1a )

Die Wassertemperatur nenne ich y, die Außentemperatur x .

x1 = ( - 20 ) ; x2 = 10 ( 1b )

Du musst jetzt den " Differenzenquotienten " m bilden, also die Steigung

y2 - y1
-------- = m = ( 2a )
x2 - x1

40 - 70
---------- = ( 2b )
10 + 20

4 - 7
------ = ( - 3/3 ) = ( - 1 ) ( 2c )
1 + 2

Das Pluszeichen im Nenner von ( 2b ) hängt damit zusammen, wie man negative Zahlen subtrahiert ( Thermometer; kannst du doch ! ) Ferner ist VOR dem zusammen Fassen zu kürzen ( Schritt von ( 2b ) auf ( 2c ) )
Pro Grad Erwärmung sinkt die Wassertemperatur auch um ein Grad; mach doch gleich mal die Probe an Hand von ( 1ab )
Es gibt jetzt zwei Möglichkeiten - die eine und die andere.
0 ° sind 20 ° hoch gerechnet von ( - 20 ) Also musst du auch 20 von 70 abziehen; 70 - 20 = 50.
Oder du rechnest 10 ° runter von 10 ° C , 40 + 10 ist auch 50 .
Es gibt aber ein praktisches Empfinden für geschicktes Rechnen - bei Teilaufgabe b) meine ich. Wenn du wissen willst, wann das Wasser 35 ° C heiß ist, rechnest du natürlich 5 von 40 runter und nicht 35 von 70 . Bei 40 ° Wassertemperatur hatten wir draßen gesagt, draußen ist es 10 Grad. Also noch 5 zuzählen = 15 °

#19

Hallole,

mit dem Ansatz Tw = a * Ta + b die Konstanten a, b aus dem beiden Angaben bestimmen.

Anschließend in die Gleichung bei a) Ta einsetzen. Analog im Teilaufgabe b Tw einsetzen.

Das war’s.

MfG

G. Aust