Kann mir jemand helfen? Lösung und evtl. Erklärung?
Berechnen Sie mithilfe der Sekantensteigung die Ableitungsfunktion von
f(x)=(x-3)²
Kann mir jemand helfen? Lösung und evtl. Erklärung?
Berechnen Sie mithilfe der Sekantensteigung die
Ableitungsfunktion von
f(x)=(x-3)²
Hm, die Aufgabenstellung ist nicht so ganz eindeutig - gemeint ist wahrscheinlich „mithilfe des Grenzwerts der Sekantensteigung“? Wenn ja, dann geht man folgendermaßen vor:
* Sekantensteigung durch zwei Punkte berechnen; als x-Werte nimmt man meist x und x_0, also:
f(x) - f(x_0)
x - x_0
Im Beispiel hier wäre das
(x - 2)^2 - (x_0 - 2)^2
x - x_0
* Davon braucht man jetzt den Grenzwert für x gegen x_0. Man kann aber nicht einfach x = x_0 einsetzen, weil dann 0 durch 0 da stehen würde, was ja nicht definiert ist. Also muss man den Bruch erst mal vereinfachen. Im Beispiel hier: Klammern oben mit binomischen Formeln auflösen und zusammenfassen. Das gibt:
x^2 - 4x - x_0^2 + 4x_0
x - x_0
* Jetzt muss man versuchen, den Faktor x - x_0 heraus zu kürzen. Das geht auf verschiedene Weisen, z. B. mit Polynomdivision, oder durch geschicktes Umschreiben:
x^2 - x_0^2 - 4x + 4x_0
= ---------------------------
x - x_0
(x - x_0)(x + x_0) x - x_0
= ------------------- - 4 ---------
x - x_0 x - x_0
= x + x_0 - 4
* Jetzt kann man den Grenzwert berechnen; dafür setzt man im Prinzip einfach x = x_0 ein. Also ist die Ableitung
f’(x_0) = x_0 + x_0 - 4 = 2x_0 - 4
Alternativ gibt es noch die „h-Methode“, ich weiß nicht, wie ihr es im Unterricht gemacht habt… Die geht folgendermaßen:
* Man nimmt einen Wert x und einen zweiten „knapp daneben“, also x + h mit einem „kleinen“ h. Für diese beiden x-Werte berechnet man die Sekantensteigung, also
f(x+h) - f(x)
h
Im Beispiel hier:
(x + h - 2)^2 - (x - 2)^2
h
* Dann geht’s erst mal weiter wie oben - Bruch vereinfachen (ist hier aufwendig, für die erste Klammer braucht man eine „trinomische“ Formel…); es bleibt
h^2 + 2xh - 4h
h
* Dann oben h ausklammern und kürzen; es bleibt
h + 2x - 4
* Am Schluss den Grenzwert berechnen; hier muss man h gegen Null gehen lassen, also im Prinzip einfach h = 0 einsetzen. Also ist:
f’(x) = 0 + 2x - 4 = 2x - 4
Als zusätzliche Alternativen: man kann auch erst mal f(x) umschreiben (binomische Formel) zu f(x) = x^2 - 4x + 4 und dann erst mit der Sekantensteigung anfangen - mit x_0 oder mit h …
Noch Fragen? 
Oh je, ich sehe gerade, bei meiner Antwort wurden jede Menge Leerzeichen entfernt, dadurch wird es reichlich schlecht lesbar… 
Hoffe, es geht noch?
Hallo!
Für die Berechnung der Sekantensteigung braucht man zwei Kurvenpunkte: P1(x1/y1), P2(x2/y2). Weil die Punkte auf der Kurve liegen gilt y1 = f(x1) =(x1-3)^2 und y2 = f(x2) =(x2-3)^2.
Die Steigung der Sekante ist dann m = (y2-y1)/(x2-x1).
Berechne mal den Zähler y2-y1! Das ist eine Fleissaufgabe! Das Ergebnis ist:
x2^2 - 6x2 - x1^2 + 6x1 = x2^2 - x1^2 - 6x2 + 6x1. Nun brauchen wir noch die Faktorisierung dieses Terms: x2^2 - x1^2 - 6x2 + 6x1= (x2-x1)(x2+x1) - 6(x2-x1) = (x2-x1)(x2+x1 - 6).
Nun haben wir in der Sekantensteigung m im Zähler und Nenner den Faktor (x2-x1), können den also kürzen. Zurück bleibt m = x2+x1 - 6.
Im letzten Schritt machen wir einen Grenzübergan: P2 soll zu P1 rücken. Dann wird x2 zu x1 und die Steigung bekommt den Wert x1+x1 - 6 = 2x1 -6 = 2(x1-3). Das ist die gesuchte Tangentensteigung, also die erste Ableitung der Funktion an der Stelle x1!
Liebe Grüsse
P. Matl
Die Sekantensteigung zwischen den Parabelpunkten
P(x | f(x)) und Q(x+h | f(x+h))
ist m(x,h)= ( f(x+h)-f(x) ) / h; h aus R ohne 0.
Dann:
f‘(x)=lim h->0 (( f(x+h)-f(x) ) / h )
= lim h->0 ( (x-3+h)²- (x-3)² / h ),
= …. = lim h->0 ( 2x-6+h ) = 2x-6. Das war’s.
lim h->0 (…) heißt Limes für h gegen Null von (…)
Mit der Sekantensteigung:
delta y / delta x = (f(x) - f(x0)) / (x-x0) = ((x-3)² - (x0-3)²) / (x-x0) = (x²-6x+9 -(x0²-6x0+9)) / (x-x0) =
(x²-6x+9-x0²+6x0-9) / (x-x0) =
(x²-x0²-6x+6x0) / (x-x0) =
((x-x0)(x+x0)-6(x-x0)) / (x-x0) = (x-x0) ausklammern
( (x-x0)[(x+x0)-6] / (x-x0) = (x-x0) kürzen
(x+x0)-6
das ist die Sekante durch x und x0
Jetzt wandert x in richtung x0:
Lim x–> x0 ((x+x0)-6) = (x+x)-6 = 2x-6
Das ist die Tangentensteigung in x
doer die Ableitung