Mathematik: Trigonometrie Gleichungen lösen

Wissenschaft Mathematik
#1

Liebe w-w-w-Community,

morgen schreiben wir eine wichtige Matheprüfung, ich weiß soweit alles außer ein paar schwereren Gleichungen im Bereich Trigonometrie. Habe es mir den Tag über noch einmal angeschaut und folgende Aufgaben überhaupt nicht verstanden

sin(3x + 15°) = − 0.5
2 cos(x − 60°) = −1
tan4x = 3

Eine Sinus, Kosinus und Tangenzfunktion als Beispiel. Bitte dabei erklären, was ihr gemacht habt. Dies soll keine Hausaufgabenhilfe sein, wenn ihr wollt, könnt ihr auch ein eigenes Beispiel, welches diesem hier ähnelt, verwenden

Liebe Grüße
Max

#2

Hallo Max,

es hängt jetzt natürlich stark davon ab, was Du von Trigonometrie schon weisst bzw. anwenden kannst.

Pronzipiell: überlege Dir bei den zwei ersten Aufgaben doch einmal, was das prinzipiell bedeutet, also wie wirkt sich ein Verrutschen um 15 oder 60 Grad aus - soll heissen, nimm ein paar Standard-Gradzahlen her und schau, was dieser Shift bewirkt, dann kommst Du vermutlich dem ganzen sehr schnell auf den Grund.

Für den Tangens kannst Du Dir, je nach den Voraussetzungen, zum Beispiel überlegen, ob Du ihn nicht mit sin und cos ausdrückst, da hast Du gleich eine Reihe von Möglichkeiten.

Sorry, dass ich mich so vorsichtig ausdrücke, aber es hängt eben sehr stark davon ab, was Du schon weisst und benutzen kannst und was ggf. nicht.

Ich hoffe, das reicht einmal als Denkanstoss.

Viele Grüße.

#3

Hallo Max, die beiden ersten Teile sind nicht so schwer.
Nennen wir das, was in der Klammer steht, jetzt mal y und suchen Lösungen zwischen 0° und 360° (es gibt ja unendlich viele, weil diese Funktionen periodisch sind).
Zu a): sin(y) = -0.5, daraus folgt y = 210°,
also 3x+15 = 210 und x = 65°.
b) cos(y)= -0.5 für y = 120°, also x-60°=120°, x = 180°.
c) Hier braucht man einen Taschenrechner o. ä. und verwendet die Umkehrfunktion arctan bzw. tan^(-1). Damit erhält man: tan(y) = 3 für y = 71,57…°, also x = y/4 = 17,9°.
Viel Erfolg bei der Arbeit!
Gruß Retep47

#4

Liebe w-w-w-Community,

morgen schreiben wir eine wichtige Matheprüfung, ich weiß
soweit alles außer ein paar schwereren Gleichungen im Bereich
Trigonometrie. Habe es mir den Tag über noch einmal angeschaut
und folgende Aufgaben überhaupt nicht verstanden

sin(3x + 15°) = − 0.5

3x+15°= 270°
x=(270°-15°)/3

2 cos(x − 60°) = −1

x-60°=180°

tan4x = 3

4X==arctan(3)

usw.

Eine Sinus, Kosinus und Tangenzfunktion als Beispiel. Bitte
dabei erklären, was ihr gemacht habt. Dies soll keine
Hausaufgabenhilfe sein, wenn ihr wollt, könnt ihr auch ein
eigenes Beispiel, welches diesem hier ähnelt, verwenden

Liebe Grüße
Max

#5

morgen schreiben wir eine wichtige Matheprüfung, ich weiß
soweit alles außer ein paar schwereren Gleichungen im Bereich
Trigonometrie. Habe es mir den Tag über noch einmal angeschaut
und folgende Aufgaben überhaupt nicht verstanden

sin(3x + 15°) = − 0.5
2 cos(x − 60°) = −1
tan4x = 3

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, so etwas zu lösen; ich erkläre mal, wie ich es machen würde.

Schritt 1: Eine Lösung kann/muss man immer mit dem Taschenrechner ausrechnen. Im ersten Beispiel würde man sin^{-1} von -0.5 ausrechnen; damit erhält man zunächst 3x + 15° = -30°, also als erste Lösung x_1 = -15°. (je nach Lehrer musst du das eventuell umschreiben, sodass es zwischen 0° und 360° liegt; das wäre dann hier x_1 = 345°)

Schritt 2: Da die Graphen von sin und cos achsensymmetrisch sind (sin: zur Gerade x = 90°; cos: zur y-Achse) sind, gibt es zunächst einmal noch eine zweite Lösung (bei tan erst mal nur eine!). Bei sin erhält man die zweite Lösung als 180° minus die erste Lösung; im Beispiel hier also 3x_2 + 15° = 210°, also x_2 = 65°. Bei cos erhält man die zweite Lösung einfach als minus die erste. (auch hier evtl. dafür sorgen, dass das Ergebnis zwischen 0° und 360° liegt!)

Schritt 3: Da die Graphen alle periodisch sind, gibt es sogar unendlich viele Lösungen. Die Periode von sin und cos ist 360°. Wenn man noch einen Faktor im Argument hat, also sin(ax + b) beziehungsweise cos(ax + b), so ist die Periode 360°/a. Bei tan ist es 180° bzw. 180°/a. Die restlichen Lösungen erhält man, indem man zu den Lösungen aus Schritt 1 und 2 noch beliebige ganzzahlige Vielfache der Periode dazu zählt. Im Beispiel ist die Periode 360°/3 = 120°, also sind die Lösungen insgesamt -15° + k*120° und 65° + k*120°, wobei k eine beliebige ganze (!) Zahl ist.

Dein drittes Beispiel geht prinzipiell genauso; die Lösungen sind da (etwa) 17,89° + k*45°, k eine ganze Zahl (bei tan nur eine Lösung, weil nicht achsensymmetrisch; außerdem Periode 180°/4 = 45°)

Im zweiten Beispiel muss man erst durch 2 teilen (also den cos isolieren), bevor man cos^{-1} anwendet. Die Lösungen sind dann schließlich 180° + k*360° und -60° + k*360°, k eine ganze Zahl.

P.S.: Das sind übrigens keine wirklich „schweren“ Gleichungen in dem Bereich…

#6

sin(3x + 15°) = − 0.5
3x + 15° = 210° wenn D =[0°;360°]. Sonst je nach Def.-menge 3x + 15°= 210° ± 180°
X=65° wenn D =[0°;360°].

2 cos(x − 60°) = −1
cos(x − 60°) = -0,5
x − 60° = 120° wenn D =[0°;360°]
x=180° wenn D =[0°;360°]

tan4x = 3
4x= 71,565051177077989351572193720453° wenn D =[0°;360°]
X= 17,891262794269497337893048430113° wenn D =[0°;360°]

Gruß
Walter

#7

Hallole,

es gelten doch die Additionstheoreme.
http://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonom…

Mit den speziellen Werten für Teilwerte d. rechten Winkels
http://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonom…

läßt sich das umschreiben.

MfG
G. Aust

#8

3x+15°=-30°+n*2pi n beliebig ganzzahlig
nach x auflösen wie in der 8. Klasse => fertg

cos (x-60°)=-0,5
x-60° = 120° +n*2pi n beliebig ganzzahlig
nach x auflösen wie in der 8. Klasse => fertig

#9

Hallo Max,

das geht so, wie Gleichunglösen eben geht:

Sin(3x + 15°) = -0,5
3x + 15° = ArcSin(-0,5)
3x + 15° = -30°
3x = -45°
x = -15°

Zu beachten ist allerdings, dass es neben dieser Lösung unendlich viele weitere gibt, nämlich
-15° + n * 360° (n sei eine ganze Zahl).

Gutes Gelingen!
SdV

#10

Hallo Max,
ich glaube, Du schaffst das, wenn ich Dir den Tip gebe, jeweils das „Argument“, d.h. alles was hinter sin, con, tan steht, durch die Variable z zu ersetzen.
In der ersten Gleichung steht dann
sin z = -0,5
mit den beiden Lösungen z = 210° oder z = 330°. Dann setzt Du für z wieder 3x + 15° ein und löst nach x auf.
Dann hast Du 2 Lösungen für x.
Wenn alle x-Lösungen zwischen 0° und 360° gefragt sind, musst Du zu den beiden z-Werten noch die Vielfachen von 360° addieren. Für diese umfangreichere Aufgabe erhalte ich die fünf x-Lösungen
65°; 555/3 °; 305°; 105°; 225°
Viel Erfolg!
Gruß
Jobie

#11

Hallo Max,

ich würde folgendermaßen vorgehen:
Zunächst überlegst Du Dir, bei welcher Gradzahl, nennen wir sie u, grundsätzlich
sin u = - 0,5
wird. Mit dem Taschenrechner erhälst Du
u = - 30°.
Das u in Deiner Aufgabe ist aber nicht u, sondern 3x + 1.
Du setzt nun einfach
u = 3x + 15° = - 30°
und stellst diese Gleichung nach x um. Für das x erhältst Du dann - 15°.
Genauso machst Du es mit den anderen Aufgaben:
Zunächst teilst Du die ganze 2. Gleichung durch 2, so dass cox (x - 60°) = -1/2 zu lösen ist. Setzt Du zunächst wieder cos u = -1/2 und löst die Gleichung mit dem Taschenrechner (meist mit der INV-COS-Tastenfunktion und DEG-Einstellung), dann erhältst Du für u = 120° . Wenn Du nun wieder statt u den Term x - 60° einsetzt, erhältst Du die Gleichung x - 60° = 120°. Diese nach x aufgelöst ergibt dann x = 180°.
Dann fehlt noch die dritte Aufgabe. Dort wieder der gleiche Vorgang: tan u = 3 ergibt für u = 71,565°. Ersetzt Du u wieder durch 4x = 71,565°, womit sich für x = 17,891° ergibt.

Ich weiß jetzt natürlich nicht, ob Ihr schon die Periodizität dieser trigonometrischen Funktionen behandelt habt. Es gibt nämlich bei der Sinusfunktion immer wiederkehrend weitere Gradzahlen in bestimmtem Abstand, wo wieder sin(3x + 15°) = -0,5 ist. So ist z.B. auch x = 105° eine weitere Lösung der ersten Gleichung, weil der sin (330°) auch wieder - 0,5 gibt. Vorher ergibt sich aber auch schon bei x = 65° eine weitere Lösung, die sich auch in bestimmten Abständen wiederholt. Doch wenn Du das noch nicht kennen gelernt haben solltest, dann beschränke Dich auf die Lösungen von oben.

Viele Grüße
funnyjonny

#12

Hallo Max,

noch eine Ergänzung zu Deinen Fragen. Die Periodizität liegt natürlich auch bei der Cosinus- und der Tangensfunktion vor. Bei Sinus- und Cosinusfunktion wiederholen sich die gleichen y-Werte jeweils nach 360°, bei der Tangensfunktion jeweils nach 180 °. Auch bei Deinem 2. und 3. Problem gibt es neben der „Hauptlösung“ noch weitere Lösungen.

Alles Gute
funnyjonny

#13

Auch wenn die Matheprüfung schon vorbei ist …

Du musst einfach nur umstellen:

sin(3x + 15°) = -0.5
3x + 15° = arcsin (-0.5) (im Taschenrechner meist sin^-1)
3x + 15° = -30°
3x = -45°
x = -15°

2 cos(x-60°) = -1
cos(x-60°) = -0.5
x-60° = arccos (-0.5)
x - 60° = 120°
x = 180°

tan(4x) = 3
4x = arctan (3)
4x = 71,57°
x = 17.9°