Mathematik und quadrat

Freizeit & Hobby Rätsel
#1

wer kann mir bitte ein tip geben ?
die Aufgabe :

Gegeben ist ein weißes Quadrat mit Seitenlange 2^k, k element |N,
das mit einem Einheitsgitter uberdeckt ist (wie ein Schachbrett
ohne schwarze Felder). Genau ein beliebiges der Einheitskastchen im Gitter ist schwarz gefarbt.
Beweist, dass es immer moglich ist, die weiße Flache des
Quadrats mit roten L-formigen Steinen wie im Bild luckenlos
und uberlappungsfrei zu uberdecken. Die Steine durfen auch
gedreht werden.

(das bild ist ein quadrat , und das quadrat ist in 4 kleinen gleichen quadraten geteilt, 2 oben , 2 unten, und das quadrat unten recht ist schwarz gefärbt und die drei anderen formen ein L und sind rot gefärbt
wie kann ich das beweisen ?
danke

#2

Hi,
geht mit vollständiger Induktion über k.
Verankerung: k=0 klar, da das Feld dann die Größe 1x1 hat und komplett schwarz ist.

Schluss:
Gelte die Bedingung für k=n.
Z.z.: Guilt für k=n+1.
Das Feld der Größe 2^(n+1)x2^(n+1) lässt sich in 4 Quadrate der Größe 2^n unterteilen.
In einem liegt das schwarze Feld (OBdA oben links)
Nach Indunktionsvoraussetzung lässt sich der Rest dieses Viertels mit l-förmigen Formen auslegen.

Jetzt muss man die anderen drei Viertel noch irgendwie mit L-Formen ausfüllen.

Nach Voraussetzung ist dies für jedes einzelne Viertel möglich bis auf ein Feld (das bisher schwarze) .

Wenn man die 3 Felder in den 3 Vierteln so,dass sie am Mittelpunkt des großen Quadrates liegen, kann man dort das letzte L-Stück hinlegen.

Fertig.

#3

Hallo serene26,

jedes Quadrat q_k der Kantenlänge 2^k lässt sich darstellen als Summe eines Quadrats q_0 der Kantenlänge 1 und einer Folge größer werdender „L-Elementen“ l_1 bis l_k, wobei q_0+l_1 = q_1 (Kantenlänge 2), q_1+l_2 = q_2 (Kantenlänge 4) usw.

Dass jedes l sich durch l_1 Formen ausfüllen lässt, lässt sich relativ aschauich zeigen:

Wenn man bei einem beiebigen l_k am 270°winkel ein l_1 „einfüllt“ das je zu einem 3tel in jedem der drei Teilquadrate liegt, verbleibt eine Fläche, die sich darstellen lässtals 3x die Summe von l_1 bis l_k-1.

Ich hoffe, das hilft Dir irgendwie,

Grüße,
Harald

#4

Ich kann Dir im Moment leider nicht weiterhelfen.