Mathematisch saubere Limesberechnung

Wissenschaft Mathematik
#1

Hi,

mein zweiter Eintrag in kurzer Zeit, man merkt ich bin am Lernen.
Es geht um folgendes Bsp: berechne lim(x gegen unendlich) von sqrt[(x+a)(x+b)]-x.
Die Lösung ist (a+b)/2, zu der bin ich auch gekommen, allerdings nicht in rein mathematischer Form sondern durch die Überlegung, dass bei x gegen unendlich das Verhältnis xa/xb=1 wird, darum muss a in etwa b entsprechen und für a bzw b habe ich den Mittelwert (a+b)/2 verwendet, dann kürzen sich die x raus und ich bin fertig.
Kommt mir aber etwas schluderig vor.
Stimmt die Überlegung überhaupt? Und wie würde ich diesen Gedanken mathematisch sauber niederschreiben?

Freu mich über jede Antwort.

LG

#2

Hallo bananenschale!

Es geht um folgendes Bsp: berechne lim(x gegen unendlich) von
sqrt[(x+a)(x+b)]-x.

Du suchst

\lim\limits_{x\longrightarrow\infty}f(x)

mit

f(x)=\sqrt{(x+a)(x+b)}-x.

Definiere die Hilfsfunktion g mit

g(z)=f\left(\frac{1}{z}\right)=\sqrt{\left(\frac{1}{z}+a\right)\left(\frac{1}{z}+b\right)}-\frac{1}{z}=\sqrt{\frac{(1+az)(1+bz)}{z^2}}-\frac{1}{z}

=\frac{\sqrt{(1+az)(1+bz)}-1}{z}.

Es gilt

\lim\limits_{x\longrightarrow\infty}f(x)=\lim\limits_{z\searrow 0}g(z)=\lim\limits_{z\searrow 0}\frac{\sqrt{(1+az)(1+bz)}-1}{z}.

Jetzt kannst du die Regel von L’Hospital anwenden.

\lim\limits_{z\searrow 0}g(z)=\lim\limits_{z\searrow 0}\frac{\frac{a(1+bz)+(1+az)b}{2\sqrt{(1+az)(1+bz)}}}{1}=\frac{a+b}{2}

Gruß

Hendrik

#3

Hallo,

mein Vorschlag wäre, das Viech durch Erweitern mit \sqrt{(x+a)(x+b)} + x zu einem Bruch zu machen. Dessen Zähler vereinfacht sich zu (a+b) x + ab und dann ist der Grenzübergang durchführbar.

Gruß
Martin

#4

Ich danke vielmals! Der Trick mit x->inf und t->0 mit x=1/t ist mir neu und echt wahnsinnig hilfreich!

LG