Hallo.
Ein nettes Rätsel. Um das zu lösen, analysieren wir das doch mal schrittweise:
Einer Mathematiker zu seinen zwei Freunden: Ich lasse euch
zwei Zahlen raten-einem sage ich derer Produkt und dem zweiten
dann ihre Summe. Es handelt sich um volle Zahlen, jede ist
größer als 1 und ihre Summe ist kleiner als 99.
Jede Zahl ist größer als 1, also mind. 2. Die Summe ist kleiner 99, also kann die größere Zahl max. 96 sein. Nennen wir mal die kleinere Zahl a und die größere b. Für die beiden Zahlen gilt also:
2 = 55, kann der zweite nicht sicher sein, dass nicht eine Primzahl 53 oder größer eine der beiden Zahlen ist. Damit könnte der 2. nicht sicher sein.
2.) Wenn die Summe = Primzahl + 2 ist, wäre diese eine mögliche Zerlegung, die das Produkt eindeutig macht. Diese Summe ist also auch nicht möglich.
3.) Außerdem gibt es noch die Goldbachsche Vermutung: Jede gerade Zahl größer als 2 kann als Summe zweier Primzahlen geschrieben werden.
Diese Vermutung ist unbewiesen, allerdings für alle wichtigen Zahlen in diesem Bereich überprüft. (Ich glaub für alles kleiner 10^15 oder so, also definitiv weit genug)
Es bleiben dann folgende Zahlen als mögliche Summen übrig:
11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 53
Dies sind nur ungerade Zahlen, also muss eine Zahl gerade und eine ungerade sein.
Der Erste, der das Produkt kennt ruft:" Ja? Dann weiß is es".
Das sagt uns folgendes: Das Produkt ist zwar nicht eindeutig. Aber unter allen möglichen Kombinationen, das Produkt zu bilden, gibt es nur eine, die eine der vorgenannten Summen ergibt.
Der Zweite, der die Summe kennt sagt: „Dann weiß ich es auch“
Die Summe darf nur auf eine Art und Weise zerlegbar sein, die ein eindeutiges Produkt liefert.
Das Produkt wäre dann eindeutig, wenn entweder eine der Primzahlen 29 oder größer ist (da jede Kombination mit einem anderen Primfaktor die Zahl größer 53 machen würde, also die Summe nicht mehr im zulässigen Bereich wäre). Oder es wäre eindeutig, wenn das Produkt sich nur in eine Zweierpotenz und eine ungerade Primzahl zerlegen lässt.
Jetzt gehen wir mal an alle möglichen Summen ran und schauen uns die einzeln an:
11: Diese Zahl lässt sich unter anderem in 4 + 7 und in 3 + 8 zerlegen. Was beides eine Zweierpotenz und eine Primzahl ist. Bei dieser Summe könnte der 2. diese Aussage also nicht treffen.
35, 37, 41, 47, 53: Lässt sich jeweils zerlegen in 29+x und in 31+x,also jeweils eine Primzahl >= 29 und eine andere Zahl. Beides ist oben ausgeschlossen, also können diese Summen auch nicht sein.
23: 16+7 und 19+4, beides Primzahl + Zweierpotenz.
27: 16+11 und 23+4, dito
29: Etwas komplizierter. Dies ist entweder 16+13, also Primzahl + 2er-Potenz, oder möglich wäre auch 17+12, was auch eindeutig wäre, da hier die Primfaktoren 17, 3, 2, 2 vorkommen und dies entweder 17+12 oder 51+4 wäre, wobei die Summe 51+4=55 nicht eine der möglichen Summen ergibt.
Bleibt also nur die Summe 17.
Wie brauchen also alle möglichen Zerlegungen von 17 und müssen dort die eindeutige rausfinden:
3 + 14. Das wären die Primfaktoren 2, 3 und 7, die sich auch zu 2 und 21 zusammenfassen lassen. Ist nicht eindeutig, da 23 auch eine der möglichen Summen war.
5 + 12. Primfaktoren 2, 2, 3, 5. Das ergibt auch 3 und 20, die Summe 23 wäre auch möglich, also nicht eindeutig.
7 + 10. Primfaktoren 2, 5 und 7. -> 2 + 35 = 37, ebenfalls eine mögliche Summe, nicht eindeutig.
9 + 8. Primfaktoren 2, 2, 2, 3, 3. -> 3 + 24 = 27, ebenfalls nicht eindeutig
11 + 6. Primfaktoren 2, 3, 11. -> 33 + 2 = 35 -> nicht eindeutig.
13 + 4. Verschieben wir mal 
15 + 2. Primfaktoren 2, 3, 5 -> 5+6 = 11 -> nicht eindeutig.
Es bleibt also nur 13 + 4, was dann die beiden Zahlen sind.
Sebastian.
PS: Ich geb mal zu, ich hab das nicht alles mit Hand nachgerechnet, sondern mir ein wenig Hilfe von http://de.wikipedia.org/wiki/Luzifer-Rätsel geholt.
