Mathematische Aufgabe, Formel gesucht

Freizeit & Hobby Rätsel
#1

Hallo,
für folgende Aufgabe haben wir bisher vergebens versucht eine Formel herzuleiten, kann mir wer helfen?

In einem Gebäude gibt es einen 2 m breiten Gang, der sich rechtwinklig auf 1 m verschmälert.
Wie lange darf ein Rohr max. sein, damit man es ohne es zu biegen um die Ecke tragen kann. Um das ganze etwas zu vereinfachen gelten folgende Annahmen:

  • die Dicke des Rohres wird vernachlässigt - enendlich dünn
  • das Rohr darf nicht gekippt oder schräg gestellt werden - nur zweidimensionale Betrachtung

Ein Ergebnis mittels Annäherung, bzw. eine graphische Lösung hatten wir schon, es geht also um eine Formel und deren Herleitung.

Viel Spaß und schöne Grüße
Stephan

#2

wenn ichs richtig verstehe ist es die Wurzel aus 18 in metern also 4,2426… meter.
Zumindest wenn ich mit der annahme richtig liege dass der kritische Punkt derjenige ist, bei dem die Stange zu beiden Wänden im 45° Winkel steht…

#3

Hab die Lösung glaub ich!
Hallo

Hab die Lösung so verstanden:

|-------------------------------
| /|
| L2 / | 1m
| / |
| /|------------------
| / |
| / |
| / |
| L1 / |
| / |
| / |
| / |
| / | |
| / | |
| / a | |
|/ | |
|------------| 
| 2m |
| |

Ich hab hier den Winkel a für den gilt:

cos a = 2m / L1
sin a = 1m / L2

Also:

L1 = 2m / cos a
L2 = 1m / sin a

Und die Gesamtlange L = L1 + L2

Ich will jetzt den Winkel bestimmen, bei dem l minimal ist, denn da ist sozusagen der Engpass des Herumtragens des Rohrs.

L(a)= L1(a) + L2(a)
= 2m/(cos a) + 1m/(sin a)
Ableiten:
L’(a)= (2m*sin a)/(cos a)^2 - (1m*cos a)/(sin a)^2
Nullsetzen:
L’(a)=0
0=(2m*sin a)/(cos a)^2 - (1m*cos a)/(sin a)^2
0,5 = (tan a)^3
a = arctan[0,5^(1/3)]
a rund 38,439°

L lässt sich damit genau angeben und ist etwa
4,162 m

Hoffentlich hab ich mich nicht blamiert :wink:

VG, Stefan

#4

Einfache Lösung
Hallo Stefan

Wenn das Rohr am kürzesten ist steht es genau 45°. Das heisst Du hast dann in jedem Gang ein gleichschenkeliges rechtwinkeliges Dreieck. Die Gangbreite sind die Katheten und die gefragten (Teil)Rohrlängen im jeweiligen Gang die Hypotenusen. Also
(Wurzel aus 2a² Gang 1)+(Wurzel aus 2a² Gang 2)
in diesem Fall Wurzel(2x1²)+ Wurzel (2x2²)= 1,4142 + 2,8284 = 4,2426
vereinfacht weil es sich ja um gleichschenkelige Dreiecke handelt genügt es wenn Du die beiden Gangbreiten zusammenzählst, und den Pythagoras nur einmal rechnest.

Die Formel heisst also: Wurzel(2x(Breite Gang1+Breite Gang2)²)

= Wurzel (2x(1+2)²)= Wurzel(2x9)=Wurzel 18 = 4,2426

vG Lois

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#5

Die einfache Lösung hier ist aber leider falsch…
Hallo Lois

_Ich hab hier den Winkel a für den gilt:

cos a = 2m / L1
sin a = 1m / L2

Also:

L1 = 2m / cos a
L2 = 1m / sin a

Und die Gesamtlange L = L1 + L2

a = arctan[0,5^(1/3)]
a rund 38,43904971°

L lässt sich damit genau angeben und ist etwa
4,161938185 m_

Hallo Stefan

Die Formel heisst also: Wurzel(2x(Breite Gang1+Breite Gang2)²)

= Wurzel (2x(1+2)²)= Wurzel(2x9)=Wurzel 18 = 4,2426

Das ist aber offensichtlich nicht richtig. Denn bei ::

alpha = arctan[0,5^(1/3)]

alpha rund 38,43904971°

bekomme ich eine kürzere Strecke (4,161938185 m) raus. Oder willst du etwa L = L1 + L2 = 2m/cos alpha + 1m/sin alpha anzweifeln?

Auch deine Wurzel 18 spuckt die Gleichung für alpha = 45° raus. Anscheinend ist die Annahme von 45° als „Extremalwinkel“ daher nicht richtig. Ich selbst war erst geneigt die Annahme zu treffen.

Allgemein ist der „Extremalwinkel“ gamma = arctan [(Br/Bu)^1/3]
für
Br: Breite des nach rechts abgehenden Gangs
Bu: Breite des nach unten abgehenden Gangs

Auch hier kommt als Winkel bei !gleichen! Gangbreiten natürlich 45° raus. Wie gesagt aber auch nur dann…

VG, Stefan