Mathematische Definition von Punkten und Abstand

Wissenschaft Mathematik
#1

Ich möchte euch schon einmal Vorwarnen, ich habe hier nicht richtig alles mathematisch formuliert und glaube viele werden nur den Kopf schütteln wenn sie das lesen.
Ich würde mich wirklich sehr freuen wenn sich jemand trotzdem die Mühe macht und mir das alles erklären will!
Gibt es ein mathematisches Teilgebiet das Sachen misst? zB. die länge eines Intervalls, falls ja sagt mir bitte bescheid.

Was sind Punkte im Mathematischen Sinne? Unendlich kleine stellen bzw. Angaben wo etwas sich befindet?
Mich beschäftigt die frage wie die Distanz zwischen zwei punkten exakt berechnet wird. Auf einer Zahlengerade rechnet man dann ja die Distanz zwischen zwei Punkten A,B folgendermasen
$ \overline{AB} $ = |A-B| Sind das alle Punkte der kürzesten Strecke von a nach b und die Punkte a,b mit eingeschlossen? Spielt das überhaupt eine Rolle?
Weiterhin dachte ich mir wenn man die Länge eines Intervalls „messen“ möchte z.B. [a,b] dann rechnet man auch |b-a|. Ist die Länge des abgeschlossen Intervall [a,b] a,b Reele Zahlen gleich dem offenen Intervall (a,b) Obwohl [a,b] zwei Punkte enthält die (a,b) nicht enthält? Ist das so weil |R ein metrischer Raum ist und d(x,x) = 0 ist also Punkte gar keine Länge haben. Ich habe mir bisher immer vorgestellt dass ein Intervall aus unendlich vielen Punkten besteht wenn jetzt jeder Punkt aber die länge 0 hat macht das keinen Sinn. dann wär der ganze Intervall 0 lang. Ich glaube ich kann das gar nicht richtig miteinander vergleichen.
Ist es ist egal wenn ich die Länge eines intervalls
[a,d](b,c seien in dem Intervall) berechnen will ob ich ihn unterteile in [a,b]+[b,c]+[c,d] oder in [a,b)+[b,c)+[c,d] … Kann man überhaupt Intervalle addieren oder mach ich hier einfach nur Quatsch?
Kann ich mir z.B. die Zahl 5 auf dem Zahlenstrahl vorstellen als alle Punkte bis zur 5, die 5 mit eingeschlossen. dann würde Man 5-3 irgendwie so darstellen können:alle elemente aus [0,5] \ alle elemente aus [0,3]
=(3,5] und das ist gleich lang wie [3,4]? also 2 dann müsste aber auch 1,99 periode = 2 sein…
Man kann also einen Intervall in endlich viele kleinere Intervalle zerteilen die nicht unbedingt disjunkt sein müssen, dann bestimmt man die länge der Teilintervalle addiert sie und erhält die Länge des gesamt Intervalls? Also unterteile ich z.B. das Intervall
[a,b] : a = $ x_0 $

#2

Hallo Michael,

puh, da hast du ja einige Fragen :smile: Ich versuch mal, dir dabei zu helfen.

Also, wie genau ein Punkt definiert ist, hängt erst mal von dem Zusammenhang ab, in dem du das betrachtest. In der Geometrie, in der wir uns ja grade befinden, kannst du dir die Fläche eines Punktes vorstellen als zwar nicht gleich 0, aber unendlich klein.
Du könntest also so eine Fläche annähernd gut beispielsweise mit lim_x->unendlich 1/x beschreiben. Das geht gegen 0, wird aber nicht gleich 0. Wenn du einen einzelnen Punkt nimmst oder endlich viele, wird die Fläche also vernachlässigbar gering, deshalb ist tatsächlich die Länge des Intervalls immer gleich, auch wenn du die Randpunkte wegnimmst.
Das Intervall selber hat aber nicht die Länge 0, weil du, wie du richtigerweise meintest, dort unendlich viele Punkte mit einer, wenn auch winzig kleinen, Fläche hast, die gemeinsam die Länge ergeben.

Die Intervalle kannst du so, wie du das beschrieben hast, aufaddieren.
„und das ist gleich lang wie [3,4]?“ Hier meintest du sicher [3,5], ja, das ist gleich. 1,99 periode ist auch tatsächlich gleich 2, wenn dich der Beweis dazu interessiert, dann lies dich mal in die Dezimalbruchzerlegung ein.
Aber die Teilintervalle, in die du ein ursprüngliches Intervall unterteilst, müssen disjunkt sein!
Ein Beispiel: Du nimmst das Intervall [1,5], das hat die Länge 4.
Wenn du das jetzt unterteilen würdest in [1,2],[2,4] und [2,5], hättest du als Länge 1+2+3=6.
Solange die Intervalle, die du unterteilst, aber disjunkt sind oder nur einen Punkt gleich haben, kannst du das aber so machen.

Ich hoffe, ich konnte dir da weiterhelfen, wenn nicht, kannst du gerne weitere Fragen stellen!

Liebe Grüße,
Anni