Hallo Michael,
das sind ja gleich ein Haufen Fragen. einige sind sehr insteressant, andere reichen fast bis ins Philosophische. In welche Klasse gehst du denn?
Ich versuche dir mal alles der Reihe nach möglichst einfach zu erklären:
Gibt es ein mathematisches Teilgebiet das Sachen misst? zB.
die länge eines Intervalls, falls ja sagt mir bitte bescheid.
–> Die „Metrik befasst sich mit Messen“
google doch einfach mal!
Was sind Punkte im Mathematischen Sinne? Unendlich kleine
stellen bzw. Angaben wo etwas sich befindet?
So könnte man schon sagen. Es muss sich aber dorg nicht unbedingt etwas befinden.
Vielleicht so: „Ein Punkt ist etwas was keine Ausdehnung hat.“
Mich beschäftigt die frage wie die Distanz zwischen zwei
punkten exakt berechnet wird.
Ich nehme an, du möchtest den Abstand zweier Punkte, die in einer Ebene liegen berechnen: Auf einer Kugeloberfläche sieht das Ganze etwas anders aus. Als Entfernung zweier Städte (z.B. New York und Moskau) betrachtet man die kürzeste Entfernung aber auf der Kugeloberfläche. wie lange ein Tunnel von NY nach M wäre interessiert nicht so sehr.
Auf einer Zahlengerade rechnet
man dann ja die Distanz zwischen zwei Punkten A,B
folgendermasen
AB = |A-B|
Richtig. oder auch |B-A|.
Sind das alle Punkte der kürzesten Strecke von a
nach b und die Punkte a,b mit eingeschlossen? Spielt das
überhaupt eine Rolle?
VORSICHT:
Unterscheide die Länge der Strecke AB (AB mit Strich drüber) und die Strecke [AB].
AB (mit Strich drüber) ist eine Größe (= Maßzahl mit Einheit, z.B.: 5km oder 3,4cm)
[AB] dagegen ist eine Strecke (man könnte auch gerader Strich oder Linie mit Anfang und ende sagen)! Diese Strecke kann man messen und das ist dann die Länge der Strecke AB.
Ein Intervall ist erst mal etwas anderes (später aber vergleichbar, siehe weiter unten):
Dazu vorher:
Mehr oder weniger gleichartige Elemente z.B.: Zahlen lassen sich zu einer Menge zusammenfassen:
z.B.: { 1, 24, 116} oder {1,5; 3,5; 5,5; 7,5; 9,5; … } sind Zahlenmengen. Die erste hat nur 3 Elemente, die andere unendlich viele Elemente.
Möchte man jetzt alle Zahlen, die es zwischen 0 und 5 gibt zu einer Menge zusammenfassen, tut man sich schwer mit hinschreiben. Die lassen sich nämlich nicht aufzählen, zwischen zwei gefundenen Zahlen gibt es immer noch eine.
Dafür gibt es die Intervallschreibweise: [0; 5]
Die eckige Klammer zeigt an, ob der Rand ein- oder ausgeschlossen ist.
Jedes Intervall, egal wie klein du es wählst hat immer unendlich viele Zahlen.
Zwischen zwei Brüchen gibt es immer noch einen weiteren dazwischen (6. Klasse). Außerdem gibt es noch die irrationalen Zahlen wie Wurzeln oder Pi (9. Klasse).
Du kannst also Intervalle nicht direkt zum Längenmessen verwenden.
trotzdem kannst du die Länge eines Intervalls messen:
Weiterhin dachte ich mir wenn man die Länge eines Intervalls
„messen“ möchte z.B. [a,b] dann rechnet man auch |b-a|. Ist
die Länge des abgeschlossen Intervall [a,b] a,b Reele Zahlen
gleich dem offenen Intervall (a,b) Obwohl [a,b] zwei Punkte
enthält die (a,b) nicht enthält?
Ja, denn der anfangs und der Endpunkt haben ja keine Ausdehnung
Du zählst ja nicht die Anzahl der Punkte, die wäre sowieso immer unendlich!
Ist das so weil |R ein
metrischer Raum ist und d(x,x) = 0 ist also Punkte gar keine
Länge haben.
Könnte man so sagen, aber auch noch aus anderen Gründen!
Ich habe mir bisher immer vorgestellt dass ein
Intervall aus unendlich vielen Punkten besteht wenn jetzt
jeder Punkt aber die länge 0 hat macht das keinen Sinn. dann
wär der ganze Intervall 0 lang. Ich glaube ich kann das gar
nicht richtig miteinander vergleichen.
Ja genau. Eben weil ein Punkt keine Ausdehnung hat. Und weil in der Mathematik mit „unendlich-vielen“ sehr vorsichtig umzugehen ist. "Unendlich ist keine Zahl mit der man rechnen kann! deshalb gelten da auch nicht immer die Rechengesetze, die du für Zahlen kennst. Nur manchmal.
Ist es ist egal wenn ich die Länge eines intervalls
[a,d](b,c seien in dem Intervall) berechnen will ob ich ihn
unterteile in [a,b]+[b,c]+[c,d] oder in [a,b[+[b,c[+]c,d] …
Kann man überhaupt Intervalle addieren oder mach ich hier
einfach nur Quatsch?
Solange nur einzelne Punkte fehlen, ist es egal und du kannst getrost addieren. Ich habe dein Bsp. so verändert, dass der Punkt c fehlt. Die Länge der Teilintervalle ist die gleiche wie das Gesamtintervall, das wegen des Fehlens vom Punkt c aber kein Intervall mehr ist. (Intervalle müssen immer zusammenhängen und lückenlos sein)
Kann ich mir z.B. die Zahl 5 auf dem Zahlenstrahl vorstellen
als alle Punkte bis zur 5, die 5 mit eingeschlossen. dann
würde Man 5-3 irgendwie so darstellen können:alle elemente aus
[0,5] \ alle elemente aus [0,3]
=(3,5]
Die Zahl 5 ist der Punkt 5 auf dem Zahlenstrahl. Der hat von der Null den Abstand 5 Einheiten.
Die Zahl 3 ist der Punkt 3. 3 Einheiten von der Null entfernt.
Wenn du jetzt damit rechnen möchtest, dann könnte man das schon so veranschaulichen wie du geschrieben hast.
Dein Modell geht aber nicht mehr, wenn du ins Negative kommst. oder wenn der Minuend kleiner als der Subtrahend ist. Z.B.: 3-5. was machst du dann?
Besser ist ein Pfeilmodell:
Jede Zahl wird durch eine Pfeil von der Null ausgehend bis zu dieser Zahl auf der Zahlengeraden veranschaulicht.Der Anfang des Pfeils ist bei der Null, die Spitze bei der Zahl. Die Länge des Pfeils gibt also die Grüße der Zahl an, die Pfeilrichtung das Vorzeichen (Pfeil nach rechts: positive Zahl, Pfeil nach links: negative Zahl)
Addition: Fuß des 2. Pfeils an Spitze des ersten; Ergebnis vom Fuß des ersten zur Spitze des 2. Pfeils.
Subtraktion: Addiere die Gegenzahl: Also erstens den Pfeil des Subtrahenden umdrehen und dann wieder addieren: 5-3 = 5+(-3)
Das funktioniert super. Probier’s mal aus.
…und das ist gleich lang wie [3,4]?
Warum ? nicht [2;4]
… also 2 dann müsste
aber auch 1,99 periode = 2 sein…
Ist es auch und zwar exakt genau!!!
Das liegt wieder am verflixten Unendlich!
Man kann also einen Intervall in endlich viele kleinere
Intervalle zerteilen die nicht unbedingt disjunkt sein müssen,
dann bestimmt man die länge der Teilintervalle addiert sie und
erhält die Länge des gesamt Intervalls? Also unterteile ich
z.B. das Intervall
[a,b] : a = x_0
